体悟数学本质构建认数脉络

陈芳华 朱国荣

【编者按】教师在教学中应有全局观念，摒弃以往以课时为单位的教学设计模式，在环节设计时给予学生应有的发展空间，帮助学生沟通知识的由来和发展，建构起自身的知识体系。本期围绕“整体把握教材，建构知识体系”展开探讨。

“11～20各数的认识”是学生认识两位数的起始阶段，也是学习十进位值制计数法的启蒙阶段，在整册教材（人教版）中起到了承上启下的作用。它是学生在抽象认识0～9数字符号后，真正开始接触和认识计数法基本原理即位值制和进位制的起始课。该教学内容的重要性和起始性，决定了它在一上教学中的重要地位，因此基于认数体系，整体把握教材，构建认数脉络显得尤为重要。

一、“理”——以数数为切入点的难点梳理

（一）数（shǔ）是必需的，但应让学生感受必需

数来源于对数量本质的抽象，数量的本质是多与少，因此，数字就是那些能够由小到大排列的符号。从人类的发展历程分析，这个抽象十进制计数系统的过程，经历了计数和符号两个阶段层次的抽象。因此，11～20各数认识中数（shǔ）是必需的。但在以往教学中，指令性的数数代替了必需性的数数，这违背认数的初衷。能否创设一定的生活情境，让学生感受必需？

（二）数（shǔ）是重要的，但构数的理解更为重要

教学改进常常需要从解读学生入手，基于学生学习结果的分析，有的放矢地改进教学。因此，备课组重点梳理了以往“11～20各数认识”的教学后，总结了学生的典型错例。

学生在学习11～20各數之初会产生一系列问题：为什么1～9都只有一个数字，10要用1和0两个数字？12为什么不能写成10和2合起来的样子？12为什么一定要读成十二，不能读成一二？学生会产生这些错误和问题的根本原因是对位值制、构数法则的不理解。因此，数数是重要的，但更重要的是要让学生理解数的构成。既然帮助学生理解数的构成很重要，那么通过哪些素材，可以有效帮助学生感悟位值制和进位制呢？

二、“改”——以目标为切入点的课题更改

（一）“改”目标，使之更符合学生学习需求

将原先以“操作性数数”为重点的目标改进为以“体验计数单位十的便捷性”为重点，使之更加符合学生的学习需求。以下是改进前后教学目标的对比。

（二）“改”课题，使之更符合学生观察视角

将“11～20各数的认识”改为“两位数的认识”，更关注了学生的视角。学生发现“11～20各数”与已有的知识“0～9”各数是不一样的，以前学的只有1个数字，而从10开始变为2个数字。这是学生重点想弄明白的地方。因此，新课题直接指向新的构数准则——位值制。

三、“悟”——以数轴为切入点的整体感悟

“悟”是指以结构化的学习材料为媒介，让学生通过“对比性”的写数、数数活动，体悟与感知用计数单位十数数的便捷性，理解位值制的优越性。

（一）一条“数轴”为依托，整体感知数的大小序列

【教学片段】写数，体验数序：比10大的两位数有哪些？数轴下老师已经写出了一些，还有一些空着，你能把它们补充完整吗？（图略）

师：用这些数，你能快速数出下面小棒的根数吗？

（二）不同“单位”作对比，整体感悟单位十的意义

【教学片段】当课件显示12根小棒停3秒隐去，所有学生都嚷嚷着太快了，没看清是几根。所有学生都急着要求教师再次呈现小棒，让他们数一数到底是几根。学生内心产生了强烈的数数需求。当课件出现12根分开摆放的小棒，演示将10根扎成1捆加2根。教师：“老师把10根扎成1捆，10个一就是1个十。（课件出示文字“1捆加2根”），现在你们能数出几根了吗？”所有学生：“12根！”教师：“对了，1个十和2个一合起来是12。”（在小棒图下出示相应文字）连续四组试下来，学生对1根1根数数痛恨极了，爱极了由1个十和几个一这样的数数方式。数形结合，计数单位十深入人心。

将“数数”停留在“用小棒数数的动作层面”，还是提升到关注“学生数学思维的发展”的“数学化层面”？实践证明，后者更容易激发学生学习的兴趣。将摆小棒数数改为看图找数，通过逆向构造的学习，重点落在让学生感知运用计数单位十的便捷性，并用计数单位十建立数的结构。

（三）关键“操作”助理解，整体感悟“进位与位值”

【教学片段】对比摆数，初步理解“满十进一”的进位制，感悟位值。

（1）反馈：20怎么摆？老师看到有小朋友是这样摆20的，1个十和10个一。这样摆你们同意吗？

（2）反馈：21怎么摆？21和12同样用到了数字1和2，怎么摆出来的小棒不一样？

（3）反馈：22怎么摆？这两个2有什么不同？

小结：刚才小朋友学会了看着数摆小棒，知道了同一个数字不同的位置表示的意义也各不相同。现在老师这里有一些小棒，你能看着这些小棒图写数吗？

一年级的学生需要学具操作，以帮助他们更好地理解与掌握概念。就“认识两位数”这节课而言，哪些内容需要学生用小棒摆一摆，加深对数的意义的理解？摆的时候该采用怎样的方式？

首先，绕不开的肯定是“20”。这是学生进一步理解位值制和进位制的关键性素材。学生摆数后，会呈现两组素材（图1）。一对比，学生就发现：直接摆“2个十”比摆“1个十和10个一”要方便许多。因此，数完19后，再添1根，又满10根，就又可以扎成1捆，变成2个十，是20。

其次，是个位与十位交换位置的材料。如12和21，通过对比摆数图2，学生一下就发现它们的区别：尽管都是2和1，但所处的“位置”不同，表示的小棒数量也是不同的。从而，初步感悟“位值”的含义。

最后，是十位和个位相同数字的材料。通过22的摆放，让学生进一步感悟“相同的数在不同的位置，其大小也不同”。 实践表明，不断地对比摆数，可以帮助学生有效建构计数单位“十”和“一”。

（四）“0的作用”为媒介，初步感知位数准则

【教学片段】1. 黑板上出示小棒图，学生看图写数。（图3）

师：10、20、30、40，有小朋友这样写1、2、3、4可以吗？为什么必须添上0？0有什么作用？

生：0必须添，0把这些数挤到了前面一位，这样这些数就表示几个十了。

师：你知道前面这一位叫什么位吗？0在的这一位呢？（板书：个位和十位）

2. 把几个十和几个一合起来，进一步体验数位的含义。（图4）

师：这两个1表示的意思一樣吗？这两个3呢？两个4呢？

聪明的人类用“进位”解决了“必须用无穷多个符号来表示所有的数字”的问题。为了让数字符号在不同的“位”表示基数不同的量，人类还发明了一个重要的符号“0”，有了0才能使数字符号完成上述的功能。因此，“在认识两位数”这节课中，必须对“0有什么作用”的问题进行讨论。从而引出“数位”的概念，并帮助学生形象地建立“数也有位置”的概念。接着通过“把几个十和几个一合起来，构成一个两位数”的看图写数，进一步体验数位的含义和两位数的结构。

（五）多种“材料”相联结，丰富对数的意义的感知

【教学片段】

1. 看图写数。

2. 看数选图，用线连一连。

3. 想一想，画一画。（111）

理解了计数单位“十和一”后，可以通过一定形式的练习，让学生自觉用计数单位来数数，是学生最终掌握所学知识的关键所在。练习中，通过各种不同形式，不同材料的“数一数”活动，帮助学生直观认识计数单位。学生借助计数器与小棒图的沟通写数，体会位值的概念。

在小学阶段，有许多内容都和“11～20各数的认识”一样，从数学本位知识讲，是数学的起始性知识，占举足轻重的作用;从学生的认知状况看，是学生熟知，却又感到陌生的内容，学生看似都懂，实则问题重重。如果按照教材照搬照抄授课，在学生后续学习中会产生一系列错误和问题。如果能整体把握知识体系，提供结构化材料，就能让学生经历深度学习的过程，体悟数学本质，系统建构数学知识。这样的改进为同类内容的教学改进提供了可以借鉴的模式。

（作者单位：浙江省嘉兴市秀城实验教育集团 浙江省嘉兴教育学院）