一种牛布鲁氏菌病传播模型的研究

陈珊珊，夏米西努尔·阿布都热合曼

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046)

[通讯作者]夏米西努尔·阿布都热合曼(1969- )，女，教授，硕士生导师，从事常微分动力系统研究。

布鲁氏病(下文简称布病)，是由布鲁氏菌病引起的一种人畜共患的急、慢性传染病.世界动物卫生组织将其列为B类动物疫病，我国将其列为二类动物疫病.动物布病以羊、牛和猪最易感，60余种常见家畜、家禽、野生动物有不同程度的易感性，其特征主要是侵害生殖系统，引起流产、不孕、睾丸炎等.人类布病，其特征为呈现波浪热、关节痛、睾丸炎等症状，以牛型和绵羊型布病最为常见，染病的急性期可以治愈，但不易被认症，未经治疗者的自然病程为3～6个月(平均4个月)，也有的短期1个月或者长达数年.牛型急性期往往不明显，病期在7～60天，一般为2～3周，少数病人在感染后数月或者1年内发病，严重影响人的身体健康.

布病在地中海国家、中东、阿拉伯半岛、中南美洲、亚洲和非洲较为常见，数据显示30%布病患者年龄只有15岁[1-3].在中国，疫区分布广泛，新疆、内蒙古、吉林、黑龙江、西藏、青海、宁夏、河南等地都受到布鲁氏菌病不同程度的感染.近年来，随着我国家畜饲养量的增加，畜禽的流通日益频繁，畜间布病疫情相当严重[4-6].通过建立和分析相应的布鲁氏菌病动力学模型，加强布鲁氏菌病的传染规律和发展趋势的研究，将有利于布鲁氏菌病的控制.

本文首先建立牛布鲁氏菌病直接和间接传播模型，给出基本再生数，并分析该模型的渐近行为，通过数值模拟证明结果的有效性，最后对主要结果进行总结.

1 建立模型

近年来，许多学者关注布鲁氏病研究，通过传染病模型研究菌病传播，在理论上提出了一系列有效的控制措施[7-14].1994年，Jorge Gonzalez-Guzman和Rual Naulin[15]建立如下牛布鲁氏病的动力学模型：

其中，S(t)、I1(t)、I2(t)分别代表易感者类的数量、第一阶段染病类的数量、第二阶段染病类的数量；θ(t)表示免疫接种的数量.

进一步的，Ainseba[16]考虑直接传染(接触传染)和间接传染(环境传染)因素，通过引入被感染的环境项C(t)，建立了具有易感者、染病者和环境中病菌的牛布鲁氏菌病动力学模型：

其中，b≥m>0,K>0,p∈[0,1],a1>0,a2>0,k1>0,k2>0.

本文考虑如下模型：

(1)

其中，β1表示直接接触传染概率，β2表示间接传染概率，δ为第一阶段染病类到第二阶段染病类的转化率，μi(i=1,2,3)分别表示易感染者、第一阶段染病类的、第二阶段染病类的死亡率，k1表示菌病的释放率，k2表示菌病的死亡率，以上参数都是非负的.通过直接计算可得：

2 基本再生数和平衡点

2.1 基本再生数

(2)

2.2 无病平衡点的稳定性

定理1 当基本再生数R0<1时，系统(1)的无病平衡点E0局部渐近稳定.

证明 系统(1)在E0处的特征方程为：

(3)

其中，

直接计算可得：

b1=-β1S0+δ+μ2+μ3+k2

b2=-β2k1S0+k2μ3-δβ1S0+(μ3+k2)(-β1S0+δ+μ2)

b3=k2μ3(-β1S0+δ+μ2)-β2k1S0δ-β2k1S0μ3-β1k2S0δ

>[(δ+μ2)(1-R0)+μ3+k2][k2(δ+μ2)(1-R0)+(1-R0)μ3(δ+μ2)+μ3k2]

即b1>0,b2>0,b3>0,b1b2-b3>0，根据Routh-Hurwitz准则，方程(3)的所有特征值为负.当R0<1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的；当R0>1时，特征多项式具有正根，即E0不稳定.

定理2 当基本再生数R0<1时，系统(1)的无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

(4)

沿系统(1)，对W1(t)求导，

(5)

考虑如下方程：

代入方程(5)得到：

2.3 地方性平衡点的稳定性

证明 当μ3=μ2时，令I1+I2=I，系统(1)可以转换为以下形式：

(6)

由此可得模型(6)的特征方程：

(7)

其中，

直接计算可得：

B2=-β2S*(k1I*+k2)+(β1I*+β2C*+μ1)(-β2S*+μ2+k1I*+k2)

+β1S*(β1I*+β2C*)(k1I*+k2)-β2S*k1(1-C*)

B3=(β1I*+β2C*+μ1)(-β2S*+μ2)(k1I*+k2)+(β1I*+β2C*)(k1I*+k2)β1S*

+(β1I*+β2C*)β2S*k1(1-C*)-(β1I*+β2C*+μ1)β2S*k1(1-C*)

B1B2-B3=(a1+μ1+a3+a4)[a4a3+(a1+μ1)(a3+a4)+a1β1S*-a2β2S*]

-(a1+μ1)a4a3-a1a3β1S*-a1a2β2S*

根据Routh-Hurwitz准则，系统(6)特征方程的根都为负，故地方性平衡点E*局部渐近稳定.

3 数值模拟

我们利用数值模拟来探索系统(1)中的易感类，第一阶段染病类，第二阶段染病类，被污染的环境的动力学模型。通过模型的数据值，验证地方性平衡点的全局渐近稳定性.假设地方性平衡点的初值(S(0),I1(0),I2(0),C(0))=(200,50,50,0.4)，Λ=400，μ1=0.03，μ2=0.03，μ3=0.4，β1=0.0025，β2=0.0048，δ=0.4，k1=0.002,k2=0.03，通过这些数值计算出R0>1，模拟得出图1至图4，验证了地方性平衡点的全局渐近稳定性。

图1 易感类

图2 第一阶段染病类

图3 第二阶段染病类

图4 环境中的病菌

4 结论

与文献[7,15]相比，本文在系统(1)中讨论了一种直接和间接传播的牛布氏菌病模型，并描述了环境污染率对系统的影响.通过动态分析可以得到，当R0<1时，无病平衡点是全局渐近稳定的，这表明着牛布氏病菌是不活跃的.而当R0>1时，我们在理论上仅仅证明了地方性平衡点的局部渐近稳定性，通过数值模拟图，当R0>1时，可以看出地方性平衡点是全局渐近稳定的.

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