函数图象中蕴含的几个辩证观点

杨淑荣

摘要：为培养学生辩证唯物主义世界观，结合教材中相关知识，根据学生的认知水平，适当组织教学内容，进行概括和抽象，将数学知识与哲学思想相结合，使学生的思维方式得以拓展，培养既有深度又有广度的分析综合能力。在函数及图象中，蕴含的辩证观点极为丰富，正如恩格斯所说的“教学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

关键词：函数图像；概括和抽象；理性认识；哲学思想

一、常量与变量

辩证法认为，世界上的万事万物，都是相互联系运动、变化和发展的。常量，是相对于某个过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，故物动则变；既然如此，相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的，因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系不妨取如下实例：匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量，且人在实际运动的过程中，绝对的匀速运动是没有的；例如在一个学生骑车回家这一日常易见的运动过程中，也免不了加速、减速、刹车等情况，教学实践表明，要使学生认识常量与变量这一辩证关系，就必须多形式、多角度、多层次地予阐释。

二、运动与静止

根据人类认识事物的客观规律及实践和知识的发展水平，我们可结合教材中的具体教学内容，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。例如，画出的y=2x2+x+4的图象去思考：这个图象表面上是靜上的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进--步挖掘，可以发现：画成的图象表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图象永远只能是局部的，它只能是某个函数图象的一个象征物，体现了部分与整体的辩证统一。

三、特殊与一般

辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。例如教材分析了：（1 ）y=ax2与y=ax2+k；（2）y=ax2与y=a（x-h）2（3）y=ax2与y=a（x-h）2 +k，它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的关系，而这一关系又是辩证统一的；为利于学生认识事物的本质属性，教材中总是先介绍简单的、特殊的内容，然后再逐步推广、加深到较复杂的、更一般的内容，从而引导学生逐步认识事物的本质属性，掌握对事物的认识规律。

四、现象与本质

在物质世界中，没有一定的现象，就不能表现出事物的本质，而且其本质常常寓于现象之中。当然，个别现象不一定能暴露出事物的本质，因为本质是若干同类现象的寓归。例如，学生可以顺利地判定方程组的解集为空集，而相对于认识“y=4表示一条平行与x轴的直线与二次曲线y=x2+2x+3自然没有交点”，属于对事物表象的认识，只有达到透彻理解二次函数的概念与性质以后，才算是认识了事物的本质。一元二次方程x2+2x+3=0为什么没有实数解？函数y=x2+2x+3的图象与x轴为什么没有交点？函数y=x2+2x+3的最小值是多少？学生从 “列表一描点一连线”，直观地看到抛物线y=x2+2x+3的顶点的位置，以及得到了最小值，实现了由浅入深，由现象到本质的认识过程。这类问题中，方程没有实数根或图象与x轴没有交点，或顶点在x轴上方，均是现象，而问题的本质，恰恰是“一元二次方程根的判别式”的值的状况对于这类问题的制约。

五、量变与质变

本章体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是很困难的因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理论。（1）对于一次函数y=kx+b.若从k≠0变为k=0，情况如何？（2）二次函数y=ax2+bx+c中，规定a≠0；若令a=0情况何？（3）反比例函数y=1/x中，自变量x的取值范围是x≠0；如果x=0.或y=0，又将如何？（4）对于y=kx+b，从k>0变为k<0，则其变化特征如何相应变化？（5）对于二次函数y=ax2+bx+c，若△>0变为△=0或△<0，相应的函数图象及性质将如何改变？（6）对于周长确定的矩形，当相邻边长均为等长时，面积的大小有何特征？（7）对于一般的二次函数y=ax2+bxtc，从x<0，变为x=0再变为x>0，其増减趋势如何相应地改变？

六、有限与无限

事物的数量中，有限总是表现为具体的，而无限则是抽象的，它是一种运动无限延长的过程，是事物的一种变化发展趋势，是一种抽象的理念，需反复渗透方可形成一定程度的认识。（1）学生准确地“画出函数y=2x-1的图象”，其实只是画出了这个函数图象的有限部分，即用有限的部分去“表示”“无限”的趋势。（2）列表、描点、连线，画出抛物线，显然也只是画出了函数图象的一“部分”，用“有限”的一些点“确定”其“大致”位置、形状大小。

参考文献：

[1]房爱东，张雪.二次函数的研究.〔J〕数学教学通讯.2001.

[2]李继武.二次函数的正负值区间.〔J〕数学教学通讯.1998.

[3]林跃峰.二次函数的一个性质及其应用.〔J〕中学数学研究.1996.

[4]郁兰屏.二次函数图像与方程，不等式的内在联系.〔J〕数学教学通讯.2001.