牛顿力学和拉格朗日力学的联系和区别

摘要：质点力学的问题，既可以用牛顿力学也可以用拉格朗日力学（还有哈密顿原理）中的任何一种基本原理来表述。经典力学中惟一可以用实验加以验证的是牛顿第二定律，也正是这一定律，构成了牛顿质点力学的基础，而拉格朗日力学却要求抽象的虚位移、虚功，显然这种依赖于思维的原理是不可能用实验加以验证的。、

关键词：牛顿力学；拉格朗日力学；联系；区别

下面就两种力学理论的主要联系和区别进行说明：

一、两种理论的区别

（一）力学规律的比较

牛顿力学的基本观念：时间的绝对性与时空分离的观念，使得它只适用于物体运动速度远小于光速的范围，为了摆脱经典概念的束缚，而且成为自然地过渡向非经典力学的桥梁，拉格朗日力学为这种过渡做出了最好的准备。

拉格朗日方程是以达朗伯原理为基础，而达朗伯原理的出发点是牛顿运动方程，后面进行的所有推导都只是改变表述的形式。如引进广义坐标是为了使变量独立，利用虚功原理是为了去掉约束力的贡献，这些过程既没有增加也没有减少力学规律的内容。但它得到的力学系统在完全一般性广义坐标描下具有不变形式的动力学方程，概括了比牛顿力学要广泛得多的系统，同时它也提供对力学系统的动力学、稳定性、振动方程作一般性研究的可能，并发

展研究了非完整系统，特别是非线性完整系统的研究。

（二）理论研究的切入点的比较

拉格朗日力学与牛顿力学的着眼点是不一样的。牛顿力学方法是以质点为对象，把着眼点放在作用于物体上的外界因素（力），在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动，而拉格朗日在处理问题时，以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统的位形，着眼于体系的能量（如动能和势能）概念。实际上在拉格朗日表述中没有一处引入过力的概念，这主要是因为能量是标量，并且一系统的拉格朗日函数是不随坐标变化而变化的；在力学系统受到理想约束时，可在不考虑约束力的情况下来解决系统的运动问题；另外牛顿力学用矢量（如力速度、角速度、力矩等）形式来考虑力学系统，而在拉格朗日力学中运动方程完全是在位形空间以标量运算的形式获得的因而往往我们可以把在普通空间中很复杂的运动方程变换到位形空间，并适当选择位形空间可使问题得到很大的简化如求解双摆问题、陀螺运动等等）。

（三）方程形式的比较

拉格朗日动力学方程取较简洁的形式。对于有n个质点所组成，受到k个约束条件限制的力学体系，应用牛顿定律将需要3n+k个方程联立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k个，约束越多，这一优点就越明显。另外，在上述已谈到，牛顿运动方程是从物体受力角度导出的，而拉格朗日方程是从能量的角度来写动力学方程的，这样的好处是：一是，力是矢量，能量是标量，一般来说处理标量比处理矢量要方便。二是，力仅是力学范围内的一个物理量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就为把力学规律应用到其他物理学领域开辟了可能性，使拉格朗日方程成为力学和物理学其他分支相联系的桥梁。但由拉格朗日方程得到的各种表达式的物理图像，又不如应用牛顿运动方程式那样直观和简单。

二、两种理论的联系

从以上我们看到似乎牛顿力学与拉格朗日力学的观点有着根本的差异，好像是两套理论来解力学问题，其间没有相同的地方，实际上，这是一种表面现象，由下面我们可看到它们对质点动力学所做出的正确描述都是等价的，只不过是观点不同，而结果是相同的。

122.1两种理论的方程

考虑保守情形考虑保守系情形，选取直角坐标为广义坐标，对单个质点：

拉格朗日方程为：

i=1，2，3……

拉格朗日函數：L=T-U

方程可写为：

对保守系：

故上式可写为：

又对保守系：

则

即

这正是牛顿第二定律的表达式，表明在广义坐标就是直角坐标情形下，拉格朗日方程和牛顿动力学方程是完全等价的。

2.2两种理论的力的分类

在质点系牛顿力学，将力分为外力和内力的结果，导致了有关内力的一个特别的公理，即牛顿第三定律：

同样，拉格朗日力学中每一个有界力要不是一个“约束力”，要不就不是约束力（称之为“给定力”），也需要有一个关于约束力的特别的公理，这个公理就是达朗贝尔原理：在质点系动力学问题中，约束力总体可以不予考虑；单从力分类所存在的公理角度来看牛顿力学与拉格朗日力学等价，这种等价只是对应于内力和外力、约束力和给定力所各自相应的公理存在而言。当然，不管是内力还是外力都可能包含有约束力和给定力，也就是它们对力的分类是不相当的，不过在这我们只是从存在的“公理”来看等价的。

3.总结

综上所述：牛顿力学在数学处理方面着重于几何和矢量的应用，拉格朗日力学则偏重于解析数学，它们处理问题的出发点不一样，但所得的结论是一致的。在学习中我们看到在拉格朗日力学中并没有在任何意义上建立新的理论，只不过是在力学中引人虚位移和虚功的概念把牛顿观点进行扩展的结果，这也正是这两种不同风格的力学理论，在力学范畴内所包含的内容完全等价的原因所在。但我们也看到，由于拉格朗日力学具有普适的表达方式，使它有可能超越力学范围，推广到其他学科中应用。

【作者简介：翟晨光 （1998-） 男 汉族 河北石家庄市人 学生 本科 西北工业大学 飞行器设计与工程 】