基于修正的子空间正交测试宽带DOA估计方法*

陈明建，龙国庆，黄中瑞，蔡 进

（国防科技大学电子对抗学院，合肥 230037）

0 引言

阵列处理中信号的波达方向（DOA）估计一直是雷达、通信以及声纳等领域研究的重要内容之一［1］。由于具有优良的超高分辨特性，空间谱估计技术已成为DOA估计的经典方法［2］。如基于子空间分解的多信号分类法（MUSIC）［3-5］、旋转子空间不变法（ESPRIT）［6-8］以及子空间拟合法［9-10］。上述传统的空间谱估计均假设信源为窄带信号，针对宽带信号的DOA估计主要分为两类：一类是非相干子空间法（ISM）［11］。该方法只有在高信噪比条件下具有较好的估计效果，且不能处理相干信源；另一类是相干子空间处理法（CSM）［12-13］，该方法可以分辨宽带相干信源，在低信噪比条件下估计性能优于ISM法，但需要角度预估计［14］。针对该问题Yoon等人提出了一种投影子空间正交性测试（TOPS）算法［15］，该算法无需角度预估计。DOA估计性能取决于协方差矩阵估计准确性，若协方差矩阵估计有误差，则会造成后续的投影得到的各矩阵含噪声，最终结果中会出现伪峰，且算法的性能与参考频点选择有关［16］。

针对传统TOPS算法易出现伪峰问题，提出了一种改进TOPS算法，通过最大化各频率点信号子空间与噪声子空间的特征值区分度选择参考频点，然后利用信号子空间投影矩阵代替其零空间投影矩阵，能够有效消除伪峰的存在，提高了算法的分辨能力和DOA估计精度。

1 信号模型

考虑远场空间存在K个宽带信号，信号带宽均为，以角度入射到由M元阵元组成的均匀线阵上，阵元间距d为最高频率对应半波长。则第m号阵元接收到的信号为

其中，sk（t）第k个宽带辐射源信号，，c为光速，nm（t）为复圆高斯空时白噪声。

对接收数据xm（t）做离散时间傅立叶变换，将其划分为J个子带，即表示为

将所有阵元输出Xm（fj）写成矩阵形式为

其中，表示频点fj处阵列流型矩阵，其列向量为可表示为

则Xm（fj）的协方差矩阵为

其中，为噪声方差，I为单位矩阵。

若K个信源互不相关，则对Rs（fi）特征分解，可得信号子空间Fj、噪声子空间Wj分别为

其中，为R（fi）的特征向量，对应的特征值由大到小降序排列。

2 基于TOPS的宽带信号DOA估计

2.1 传统TOPS算法

对于均匀线阵的对角酉变换矩阵为

则新的阵列方向向量为

其中，。若，则有，即方向向量可由频点fj变换到fk，而不改变其DOA信息。

假定，文献［15］证明了下列两个矩阵的值域是相等，即

其中，新的角度依赖于φ，满足如下关系

符号［］i表示矢量的第i个元素。

若假定，定义M×K的矩阵为

其中，为可能的到达角。定义矩阵为

可以证明：当φ为阵列流型中的某一角度时，矩阵将缺秩。对矩阵做奇异值分解，找到最小奇异值，通过对式（13）的峰值搜索可得到DOA估计值

为了减少Uj估计误差，定义零空间的投影矩阵为

其中，为的投影矩阵。

利用修正得到，即

将代替重新计算矩阵，利用

式（13）进行谱峰搜索估计得到DOA。

2.2 修正的MTOPS算法

针对TOPS方法易出现伪峰，修正的TOPS算法通过选择最优参考频点，同时利用信号子空间投影代替其零空间投影，解决了噪声子空间泄露引起的伪峰问题。

2.2.1 最优参考频点的选取

若信号子空间和噪声子空间对应的最小和最大特征值分别为，。定义特征值区分度为，则最优参考频点可由下式求得

2.2.2 信号子空间投影矩阵剔除伪峰

在TOPS算法中，利用信号子空间的零空间投影矩阵以消除信号子空间F0估计误差，能够部分解决由于噪声子空间泄露引起算法性能下降问题，但TOPS方法仍无法避免出现伪峰。

由式（11）可知：

1）当时，矩阵与信号子空间F0正交，即理想情况下某一行向量将退化为零向量。即式（13）在来波方向能够出现峰值的原因。

2）当时，与非正交，此时中的部分列向量可表示为

式（17）中项进一步加强了噪声子空间，即加剧了中信号子空间F0估计误差的影响，这可能是TOPS算法出现伪峰的原因。

为了解决该问题，提出了信号子空间投影替代其零空间投影，即

类似式（12）构造矩阵为

当中的每一项可表示为

2.2.3 判决函数：矩阵迹

TOPS算法通过判决矩阵的秩缺程度来得到DOA估计，等价求解如下约束优化问题

其中，表示矩阵秩；Θ为DOA搜索空间范围。

式（21）是个NP优化问题，传统算法通过对的最小特征值来判断其缺秩情况，因此，需要特征分解，计算量较大。为了解决该问题，本文利用近似松弛的方法，式（21）可近似等价为［19］

符号表示矩阵的核范数，等价于矩阵所有奇异值之和，即

符号trace表示矩阵的迹。

因此，改进的MTOPS算法可表示为

2.2.4 误差性能分析

假定分别为，其中为估计误差，满足、。为了行文的简洁，分别表示为，则式（24）的分母项可表示为：

式（25）求迹运算中的每一项矩阵可表示为

当，此时，式（26）可以简化为

则式（27）中含有关于的二次项和高阶项。假定时，取值较小，因此，在时将出现峰值。

当，此时式（26）可表示为

其中，，矩阵C为式（28）第一个等式中展开关于的多项式矩阵。虽然Trace（C）较小，但是由于较大，因此，在时将不出现峰值，避免了伪峰。

综上所述，本文算法流程简述如下：

1）对阵列接收到宽带信号数据进行分段，对每段进行离散傅立叶变换DFT；

2）求得各频点处的协方差矩阵R（fj）；

3）对R（fj）进行特征分解，得到信号子空间Fj和噪声子空间Gj；

4）利用式（16）判决式选取最优参考频率，求得参考频率点的信号子空间0；

5）根据假定的DOA构造方向向量投影矩阵和矩阵（φ）；

6）利用式（24）进行谱峰搜索，得到K的局部极大值点，即为信号的来波方向。

3 仿真实验

仿真1考虑10个全向阵元组成的均匀线阵，阵元间距为入射信号最高频率对应的半波长。两个独立远场宽带信号入射，其DOA分别为9°、12°，DFT点数为256，Montel-Carlo实验次数为200次。图1是信噪比SNR分别为10 dB、30 dB时两种算法的空间谱。

图1 不同信噪比时算法空间谱

由图1可知，传统TOPS算法易出现多个伪峰，而本文算法能够有效剔除伪峰，且算法分辨率更高，谱峰更加尖锐。

仿真2 定义DOA均方根误差，图2为不同信噪比条件下DOA估计的均方根误差性能。

图2 不同信噪比SNR时算法均方根误差RMSE

图3 不同角度间隔时算法成功估计概率

由图2可知，两种方法的均方根误差均随着SNR增大而减小。在整个信噪比区间上，修正的MTOPS算法的RMSE均小于传统的TOPS算法。

仿真3考虑两个独立宽带信号源入射方位角为，其他参数同仿真1，信噪比SNR为5 dB。假定宽带信号DOA的估计值分别为，则认为该次估计成功分辨两目标。图3为两种算法在不同角度间隔下△θ的目标成功分辨概率。

由图3可知，两种算法成功估计概率均随着△θ的增大而提高，当△θ为1.5°时传统TOPS算法无法正确估计，而本文算法成功估计概率达到90%，即具有更高的分辨率。，若

4 结论

针对传统TOPS算法易出现伪峰问题，本文提出了修正的TOPS算法。该方法选取最优参考频点，利用信号子空间投影代替其零空间投影，解决了噪声子空间泄露引起的伪峰问题，然后通过矩阵迹搜索DOA，避免了特征值分解，减小了计算量。最后的仿真实验验证了算法的有效性。

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