高中解析几何数学思想方法教学策略初探

侯招琴

【摘 要】本文以解析几何教学为例，论述在数学教学中将数学思想方法渗透其中的策略，提出要借助数形结合思想、促使课堂教学更加直观，借助分类与讨论思想、加强学生逻辑思维的锻炼，借助函数与方程思想、促进解题过程的优化，借助化归思想开展教学、提高课堂教学效果，促使学生能够在学习和生活的过程中巧妙地运用数学思想解决问题。

【关键词】解析几何 数学思想方法 教学策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）02B-0148-02

数学思想方法是数学教学的重要内容，在数学教学过程中，教师要将数学思想方法渗透其中，并用它来解决数学问题。高中数学是一门逻辑性强的学科，内容繁多并且具有很大的难度，对于数学基础较好的学生来说，在学习中依然存在一定难度；对于数学基础差的学生来说，更是困难。数学教师在开展教学的过程中，如果不能够采取有效的方式对学生进行引导，那么学生就容易产生恐惧和抵触的情绪，不利于数学教学的开展。解析几何是高中数学教学中的重点和难点内容，教师可以借助数学思想方法进行教学，促进学生推理能力的提高。

一、借助数形结合思想，促使课堂教学更加直观

在高中数学教学中，解析几何是教学的重点和难点内容，要求学生对基础知识内容进行掌握，同时需要学生能够对知识内容进行灵活应用。在解析几何教学的过程中，要借助数形结合思想开展有效的课堂教学。数形结合思想能够促使数学问题变无形为有形，对其本质以及解题的思路进行了解，促使复杂抽象的问题变得更加简单具体，有利于学生对问题的解答。例如，在人教版高中数学选修 1 有关椭圆的教学中，为了促使学生对椭圆的性质更加深入地了解，教師可以采取数形结合思想开展教学，以提高课堂教学的质量。教师可以这样开展教学：在我们日常的生活中，大家能够看到各种类型的椭圆，那么你们知道椭圆是怎样绘制吗？椭圆又有哪些性质呢？引导学生结合生活进行思考。在学生思考的过程中，教师可以在黑板上绘制相应的椭圆，并且引导学生进行观察，说出椭圆有哪些性质。有些学生会回答：椭圆是轴对称图形，也是中心对称的图形。然后教师引导学生再进一步思考，如何绘制椭圆呢？教师使用一根绳子、两个图钉和粉笔绘制椭圆，学生对教师的绘制方法感到惊奇，这时教师可顺势向学生讲解椭圆的性质。教师对椭圆的原点以及坐标系的构建进行讲解，促使学生在理解的基础上学会椭圆的绘制方法，之后引导学生对椭圆的短半轴和长半轴进行理解。在解析几何教学的过程中，借助数形结合思想激发学生对数学学习的兴趣，引导学生对其进行直观感知，加深学生对数学知识内容的理解，促使学生能够跟上自身的思路，并且对教师的问题进行思考，对知识内容进行灵活应用，使课堂教学效率和质量得到提高。

二、借助分类与讨论思想，加强学生逻辑思维的锻炼

在高中数学思想方法中，分类讨论思想是重要的思想方法，其在高中数学中得到普遍应用。在探究数学问题的过程中，按照相应的标准进行分类，然后进行探究、讨论，得出结果。分类与讨论思想是将整体问题进行分解，采取各个击破的方式，最终对问题进行解答。在高中数学解析几何的教学中，借助分类与讨论思想的教学方式，可以促使学生的数学思想更加完善，更好地培养学生养成严谨的数学思维习惯。例如，在人教版高中数学必修 2 有关直线方程的教学中，教师可以借助这样的例题开展教学，以渗透分类与讨论思想。

〖例 1〗在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的 AB=2，BC=1，AB 在 x 的正半轴上，AD 在 y 的正半轴上，并且 A 点的坐标和原点重合，现在将矩形进行折叠，使 A 点落在线段 DC 上，如果折痕所在的直线其斜率是 k，试求解折痕所在的直线的方程。

面对这样的问题时，对已知进行分析，求出折痕所在的直线斜率，可以得出两种情况，斜率为 0 和斜率不为 0 ，这需要进行分类讨论。

〖解析〗当 k 为 0 时，A 点和 D 点重合，折痕所在的直线方程是 y=。

当 k ≠ 0 时，折叠后，A 点在线段 CD 上，假设为点 M，坐标是（a，1），所以 A 和 M 点关于折痕所在的直线对称，得出 kAM·k=-1，进一步求解得 a=-k，得出 M 点的坐标是（-k，1）。假设线段 AM 的中点是 N，其坐标是（），进一步求解得出折痕所在直线的方程为 。

所以，当 k=0 时，y=；当 k≠0 时，。

在直线方程求解的过程中，需要对斜率的存在、截距相等时斜率是否为零、位置关系进行分类讨论。很多情况下学生会忽视一些情况，造成解题错误。在解析几何教学的过程中，通过分类讨论思想的传授，可以较好地培养学生形成好的解题思路，提高学生的解题能力，促使课堂教学效率和质量的提高。

三、借助函数与方程思想，促进解题过程的优化

在高中数学教学的过程中，函数和方程是两个重要的数学概念，并且两者之间有着密切的联系，两者之间的问题能够相互转换解决。在高中数学解析几何教学的过程中，利用函数与方程思想方法，可以促使学生对数学问题的本质进行分析和理解，达到解决数学问题的目的。例如，在人教版高中数学必修 2“直线、圆的位置关系”的教学中，教师可以借助函数与方程思想进行教学。

〖例 2〗已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相较于点 P 和 Q 两点，并且 OP 和 OQ 垂直，O 是坐标原点，求解圆的圆心坐标和半径。

〖解析〗在对这个例题进行解答时，需要对求解的问题进行分析，求圆心坐标和半径时，最为关键的是 m 的值。利用 OP⊥OQ，建立相应的方程式，利用圆的几何性质进行解答。

把 x+2y-3=0 转化成 x=3-2y，带入到圆的方程式中能够得出 5y2-20y+12+m=0。假设 P 点的坐标是（x1，y1），Q 点的坐标是（x2，y2），那么 y1，y2 满足的条件是 y1+y2=4，y1y2=；由于 OP⊥OQ，所以得出 x1x2+y1y2=0；根据 x=3-2y，进一步得出 x1x2=，所以 =0，求解得出 m 的值是 3，△>0，圆心的坐标是（），圆的半径是 。

在解题的过程中，要对圆的几何性质进行有效利用，促使解题思路更加简单明了，帮助学生进行快速解题。在对上述题目进行解答的过程中，重点是 m 值的求解。学生很难找到解题突破点，或者出现计算错误的情况。借助函数与方程的思想，可以开阔学生的解题思路，灵活运用解题方法，提高课堂教学质量。

四、借助化归思想开展教学，提高课堂教学效果

在高中数学教学的过程中，化归思想是一个重要的数学思想。在数学问题不能够使用现成的方式进行解答时，可以对其进行有效转化，以降低解答难度，促使问题得到更加容易解决。化归思想的实质是促使陌生的问题熟悉化、复杂的问题简单化、抽象的问题的具体化。例如，在人教版高中数学必修 2“圆的方程”的教学中，教师可以对化归思想进行有效利用。

〖例 3〗在圆（x-2）2+（y-2）2=2 上有点 P，其坐标是（x，y）。求解 x+y 和 的取值范围。

〖解析〗在对此题进行解答的过程中，需要对 x+y 和这两个代数式的意义进行了解。因此，如果设 x+y=t，那么可以把 x+y 的取值问题转化成：直线和圆有交点时，直线在 y 轴的截距的取值范围；假设 ，那么可以把 的取值范围问题转化成求解直线和圆有交点时，直线斜率的取值范围。通过这样的方式促使问题由复杂变为简单。

根据已知能够得出圆心坐标是（2，2），其半径是 。假设 x+y=t，那么 x+y-t=0，由于 P 点在圆上，所有直线和圆有交点，圆心和直线之间的距离小于等于圆的半径，可以利用点和直线之间的距离公式进行计算得 ，进一步求解得出 2≤t≤6。通过同样的方式能够求出 2-≤k≤2+ 。

在解析幾何中运用化归思想能够更好地解决数学问题，促使学生掌握数学知识，提高课堂教学的效率和质量。

在高中数学教学的过程中，要重视数学思想方法的渗透教育，促使学生在学习基础知识的过程中对知识进行有效融合，提高学习能力和综合素质。

【参考文献】

[1]冯园新.高中解析几何数学思想方法教学研究[D].石家庄：河北师范大学，2016

[2]李荣军.例谈解析几何初步教学中的数学思想方法[J].数学教学通讯，2014（9）

[3]童建福.数学思想方法在解析几何教学中的应用[J].理科考试研究，2016（1）

（责编 卢建龙）