基于主成分分析法的地磁导航适配区域选择

黄婧丽，谭学者，张翔宇

（海军航空大学，山东烟台264001）

地磁导航通常间断使用，这是因为地磁场是一种位场，会有较大面积特征相似部分，如果采用全局遍历的搜索确定位置可能有不止一个解，容易产生虚假定位，并且浪费时间。所以，通常地磁导航只在特定区域内使用，而使用区域称适配区。适配区[1-2]的性能称为适配性。适配性体现该区域提供导航信息能力的一种性质[1，3]。适配性较优的区域应该具有包含信息丰富、特征明显、定位准确、精度高的特点。由于地磁导航具有间断性，不同区域的导航效果是不同的，因而应该选择具有良好适配性的区域再进行工作。

文献[2]从随机场理论和数理统计的角度出发，把粗糙度、标准差、相关距离、熵等概念应用到数字地磁图，作为度量地磁图特征的指标，经过多次匹配总结出了地磁图适配区域选取经验准则。但没有提出如何在已知的地磁场区域内建立快速、智能化的区域选择准则。随后，刘玉霞等人在文献[3]中建立了投影寻踪地磁匹配区域选取模型，利用遗传算法求解最优方向，给出区域总体评价指数。文献[4]给出了一种基于免疫粒子群优化算法的地磁适配区域选取方法，将地磁适配区域的选择看作一个组合优化问题，通过一定的搜索策略和粒子编码，在地磁图中实现空间连续分布、大小一定的适配区域选择。文献[5]采用了支持向量机的地磁适配区选取方法，通过选取合适的核函数和核函数参数，实现匹配区域和非匹配区域的正确分类。仿真结果显示，文献[3-5]所用的方法都在一定程度上提高了地磁导航精度。

总体来讲，在适配区的选择上，大多是靠为人为经验和多次试验，并没有一个通用的方法。本文针对这个问题，借助数理统计和信息论中的概念，使用多个特征指标分析区域内地磁场分布特点。然后提出一种通用性较强，能够综合分析这些指标，定量衡量地磁场信息量的方法，以选择适配区。

为分析地磁场分布，首先应该尽量多地选用特征指标，特征指标越多，越能反应地磁场的特点，分析的越全面。但是，由于指标是人为选取的，有一定的主观性，多个指标之间可能并不独立，存在相关性。这样，既增加了问题的复杂性，而且最终结果可能因为描述某一特征的相关指标过多而夸大这个特征的作用。因此，希望找到一种方法，剔除人为因素，尽量找出不相关指标，客观地、定量地描述地磁场信息量。本文就该问题提出了基于主成分分析法的解决方案。

1 适配区评价指标的设定

由于地壳异常场[6-8]空间上变化明显，时间上变化极小，适用于导航，所以在讨论适配区的地磁场信息量特点时，主要考查的是异常场。为研究地磁场的特点，本文借用了随机场和信息论中的相关概念作为特征指标。

设某一导航区域Ω的地壳异常场强度值集合是V={Fi,j}，其中，Fi,j是网格坐标(i,j)处的地磁场强度值，(i,j)代表一组经纬度地理坐标(ϕ,λ)，(i,j)∈U，U={(i,j)|1≤i≤m,1≤j≤n}，(m,n)代表特征区域 Ω 的大小。

1.1 数据极差

地磁场强度极差反映了磁异常的强度落差，差值越大的区域越有利于导航。可以定义为：

式（1）中，Fi,j（1≤i≤m，1≤j≤n）为网格点(i,j)处的磁异常强度。

1.2 标准差

标准差主要反映的是整个区域地磁场总体起伏的剧烈程度以及离散程度，它是描绘地磁场宏观起伏特征的指标。标准差越小表示地磁场强度曲面越平坦，越不适合导航，标准差越大，地磁场强度变化越明显，更容易实现导航。标准差σ可以定义为：

1.3 平均粗糙度

平均粗糙度是单位平面上磁场强度形成表面积大小的度量。它描绘了磁场强度表面细微的局部变化。纬度和经度方向上的绝对粗糙度定义为：

平均粗糙度定义为：

1.4 地磁熵

地磁熵最早是应用于热力学中，后来经过香农的发展，成为了现代信息论的基本概念。地磁导航通常在磁场信息丰富的区域进行，地磁信息丰富与否可以用地磁熵来衡量[9]。本文中用地磁熵度量导航区域内的磁场信息量。地磁熵的定义为：

式（7）、（8）中：Hf为地磁熵；prok为某一个地磁场强度值出现的概率；nk为磁场强度值在第k级区间里的磁场强度值数目。

计算的时候，先将导航区域内的磁场强度值进行M级量化。很明显，地磁熵的大小和量化级数目相关，量化级数目越大，地磁熵也就越大。为了消除量化级对地磁熵的影响，而只体现导航区域地磁场信息量的大小，应该统一选取合适的量化级。在实际使用中，量化级数应该与地磁场数值个数N相匹配，一般用经验法则确定：M=1+3.32lgN。同样，为了避免不同导航区大小不同带来的地磁熵变换，常常将以上的地磁熵单位化，方法是：

地磁熵反映了该地区地磁场含有信息量的大小，因此，可以用它来描述地磁场的性质。地磁场强度越大，信息量越丰富，地磁熵也越小。同时，由于它对噪声不敏感，可以起到剔去异常点的作用。

2 基于主成分分析法的适配区选择算法

在研究地磁场性能的分析中，为了更完备地描述系统，分析人员往往会尽可能周到地选取有关指标。但是，许多指标都有同步增长趋势，其中很多是相关的。变量的多重相关性意味着夸大某些特征在系统分析中的地位，这样会使提供的整体信息发生重叠，不易得出简明规律，以致影响分析的客观性，妨碍决策者的正确判断。

主成分分析[10-13]是研究如何把多指标问题转化成较少的综合指标问题。综合指标是原来多个指标的线性组合，虽然这些线性综合指标是不能直接观测到的，但这些综合指标间互不相关，又能反映原来多指标的信息[9]。

2.1 主成分分析法

如果用per1,per2,…,perp表示描述地磁场强度信息量的p个指标，weg1,weg2,…,wegp表示各个指标的权重，那么加权之和是

希望适当地选择权重能更好地区分不同地区地磁场的信息量，每块地区都对应一个这样的综合指标值，记为sm1,sm2,…,sml，l为需要讨论的区域块数。如果这些值很分散，就表明区分的很好，就是说，需要寻找这样的加权，能使sm1,sm2,…,sml尽量分散。它的统计定义是：

设 Per1,Per2,…,Perp表示以 per1,per2,…,perp为样本观测值的随机变量，如果能找到weg1,weg2,…,wegp，使得

的值达到最大，则由于方差反映了数据的差异程度，也就表明找到了p个变量的最大变异。通常，

在此约束下，求式（11）的最优解。这个解是p维空间的一个单位向量，它代表一个“方向”，就是主成分方向。

2.2 适配区选择算法

根据主成分分析法的基本原理，综合各个指标的具体过程如下。

Step 1：对原始数据进行预处理。

首先，进行数据的归一化[14]处理。为了消除数据量纲[15]不同对指标计算值的影响，必须对数据进行归一化处理。归一化公式主要有以下2种。

一种是效益型指标。各个分量的数据极性越大越好，通常选用最小极差变化公式，计算公式为：

式（13）中：i=1,2,…,l，j=1,2,…,p；l表示待分析的地磁场区域块数；p为指标个数。

另一种是成本型指标。对于越小越好的指标在本文中转化成越大越好，计算公式选用最大极差规范化变换公式：

然后，进行数据的标准化处理。将归一化处理后的各指标值per′ij转换成标准化指标，有：

μj、sj为第j个指标的样本均值和样本标准差。对应地称

为标准化指标变量。

Step 2：计算相关系数矩阵R。

相关系数矩阵R=(rij)p×p，有

式（19）中：当i=j时，rii=1，rij=rji，rij是第i个指标与第j个指标的相关系数。

Step 3：计算特征值和特征向量。

计算相关系数矩阵R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0及对应的标准化特征向量u1，u2，…，up，其中，uj=[u1j,u2j,…,upj]T，由特征向量组成p个新的指标变量：

式（20）中：y1是第1个主成分；y2是第2个主成分；yp是第p个主成分。

Step 4：选择p′（p′≤p）个主成分，计算综合评价值。

首先，计算特征值λj（j=1,2,…,p）的信息贡献率和累计贡献率。称

为主成分yj的信息贡献率。同时，有

为主成分y1,y2,…,yp′的累计贡献率。当αp′接近于1(αp′=0.85,0.90,0.95)时，选择前p′个指标变量y1,y2,…,yp′作为p′个主成分，代替原来的p个指标变量，从而可以对p′个主成分进行综合分析。

然后，计算综合得分：

式（23）中，bj为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可以进行评价，得分越高的区域适配性越好。

3 仿真验证

为了分析算法的有效性，首先，选定某地区6块区域地壳异常场强度基准图，根据上文方法分析其适配性，选出导航性能好的区域；然后，建立INS/GNS组合导航系统，分别在这6块区域上进行导航定位仿真实验，以验证选择的导航性能好的区域是否和定位仿真实验结论一致。

3.1 仿真参数设置

选取某地区6块区域地壳异常场强度基准图，网格大小为200×200，网格间距为50 m。利用6块地磁基准图分别计算上文中设定的4种指标值。然后，根据主成分分析法，计算综合指标值。

根据文献[16]建立的INS/GNS组合导航系统分别在这6块区域上进行导航定位仿真实验。

滤波算法采用标准UKF[17-19]，假设飞行器匀速直线运行，加速度计的常值零偏为1×10-4g，随机漂移为服从N(0,(10-2g)2)的高斯白噪声，陀螺常值漂移为0.01(°)/h ，3个陀螺随机漂移均取，相关时间为1 h的一阶马尔可夫过程，系统初始状态0=0，初始方差阵为状态可能达到的误差平方，系统噪声方差阵为，其相关时间βx=βy=βz=1/3 600 s，测量噪声方差阵的初值为R0=(50 nT)2，采样间隔步长为1 s。

定义INS/GNS组合导航定位的均方根误差为：

式（25）中：为载体在第i个点的真实坐标与组合导航估计值之差；N为组合导航定位点个数。

err可以从整体上反映INS/GNS组合导航定位的估计位置与载体真实位置的离散程度。

3.2 仿真结果分析

利用6块地磁基准图分别计算上文中设定的4种指标值，得出的结果见表1。其中，计算数据经过了归一化和标准化的预处理。

表1 单一指标计算值Tab.1 Value of single indicator

从表1中可以看出，对于均方根误差、标准差、平均绝对粗糙度、地磁熵4个指标，4号区域得分最高。而对于数据极差6号区域得分最高。初步判断，4号区域地磁场信息信息量相对较丰富。而对于6号区域，虽然后4个指标均仅次于4号区域，但是由于均方根误差得分值非常小，很难判断6号区域信息量在6块区域中排名情况。因此，虽然单一指标一定程度上可以反映地磁场信息情况，但是由于各个指标反映的侧重点不同，所以很难给出一个定量的评价。而本文设计的方法就是要解决该问题。根据主成分分析法，计算综合指标值，得出的结果见表2。

表2 综合指标值Tab.2 Composite indicator values

由主成分分析法，定量地得到了6块区域的综合指标值。从表2中可以很清晰地看出，第4块区域所含地磁场信息最丰富，第5块区域最少，因此地磁辅助导航应该尽量选在第4块区域中进行。

为了验证算法的有效性，进行导航定位仿真实验。根据导航定位仿真实验设定的环境，得到仿真结果如图1～6所示。

图1 1号区域组合定位结果Fig.1 Positioning results in area 1

图2 2号区域组合定位结果Fig.2 Positioning results in area 2

图3 3号区域组合定位结果Fig.3 Positioning results in area 3

图4 4号区域组合定位结果Fig.4 Positioning results in area 4

图5 5号区域组合定位结果Fig.5 Positioning results in area 5

图6 6号区域组合定位结果Fig.6 Positioning results in area 6

从以上6幅仿真图可以看出，在4号区域系统仿真轨迹非常接近真实轨迹，定位精度较高。而在5号区域，仿真轨迹和真实轨迹偏差较大，甚至有发散的趋势，定位精度相较其他几个区域较差。其他几个区域的导航精度也基本与表2中给出的排序吻合，这说明主成分分析法在地磁导航系统适配区的选取方面有较强的实用性，在人为选取的指标具有多重相关性的情况下，仍然能够准确地区分出地磁场信息量丰富的适配区。

4 结论

本文主要解决了地磁导航适配区的选择问题。信息量大的适配区导航效果好。首先，借用信息论和数理统计的相关概念，设定了多个评价地磁场特点的指标。然后，为了定量分析地磁场信息量，通过主成分分析法排除了有相关性的指标，选出了最优适配区。仿真结果显示，通过主成分分析法选择的区域导航效果较好。该方法不需要人为经验，可操作性强。

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