基于小波变换的采样问题研究

王银花 孙 涛

（铜陵学院电气工程学院 安徽铜陵 244000）

香农采样定理的内容表述为：一个频谱有限的信号，当对其用采样频率大于信号最高频率的2倍进行采样得到样本数据，则原来的模拟信号可以从样本数据中完全重建。原始模拟信号的带宽决定采样间隔大小，当采样间隔大小满足香农采样定理时，采样得到的序列不丢失原始模拟信号的全部信息。在通信领域中，由于任何通信设备都有其截止频率，因此要求原始信号是频谱有限信号的条件是适合通信系统的实际情况的。但是在其他很多领域如电磁场、地球物理学等，由于所涉及到的信号函数很多是紧支集的，且信号函数本身或者其导数不连续，其傅里叶变换得到的频域函数的频谱不可能是有限的，因此香农采样定理不再能适用。

小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的，它是结合泛函分析、应用数学、逼近论、调和分析、广义函数论等数学知识的结晶。作为一种全新的分析信号的工具，克服了傅里叶分析的只是反映信号的整体特征，而非局部特征的不足，又克服了Gabor提出的窗口傅里叶变换中时—频窗宽度固定，无法随意更改窗结构的不足。目前，小波分析在图像处理、模式识别、数值分析、地震数据勘探和大气科学等众多非线性领域越来越发挥出创造性的作用，其潜在的应用领域极其广泛。

无线电通信是20世纪90年代初发展起来的。由天线感应的射频模拟信号尽可能直接进行数字化，将其转化为适合信号处理器或者计算机处理的数据形式，然后可以通过算法来实现各种功能，这样的做法使数据流具有更好的适应性和可扩展性[1]。因此完成模拟信号的数字化就是极其重要的。信号可以通过采样方式把模拟信号转化为离散数值，再通过重构公式和离散点的组合表示出原始信号，香农等人在提出时域采样定理后，后继发展了频域信号的采样定理，多维信号的采样定理，广义平稳信号的采样定理以及非均匀采样定理。本文是在非均匀采样定理的思想下，利用小波变换理论，建立新的基于小波分析的采样定理，它可以满足不同领域的各种实际问题的需要。体现出小波分析这一新型工具用于采样定理的优越性。

一、采样理论

（一）时域采样定理。计算机处理信号需要将模拟信号转换成数字信号，其第一步就是采样。将连续信号采样成离散信号，再经过量化，编码等处理成数字信号。以此得到的数字信号可以通过卫星通道、微波干线、电缆、光纤等数字线路传输。

教材中对于满足频带范围有限的这一限定条件的信号，令其最高频率为fm，用理想单位冲激响应串δ(t-nT)与模拟信号f(t)相乘，得到离散信号fs(t)，其频谱结构是原模拟信号的频谱沿频率轴，以采样角频率ωs为周期的延拓函数[2]。满足奈奎斯特采样频率即（Fs≥2fm(Fs=1/T)）时，用低通滤波器从采样信号中能不失真的提取原信号。

利用傅里叶反变换求出时域插值公式。即：

由插值公式与采样离散点线性组合重构出原始信号。

（1）式右边用 S△f(t)表示，即：

当香农采样定理的限定条件不满足时，对于任意取样间隔，式（1）是不能成立的。即S△f(t)与f(t)会有较大偏差。

采样问题研究以下两个问题，第一，用什么样的采样方式可以使信号无损失。第二，插值函数的选取并用线性组合无失真的还原出原始模拟信号。

（二）非均匀采样定理。香农等人曾经指出:当带限信号f(t)在(-T,T)外，其采样值准确为零时，则f(t)可以仅由2BT个采样值来重构，B指的是带宽。同时，这2BT个采样值不必是等间隔的采样值[3]。

非均匀采样定理可表述为：设f(t)为一带限信号，其最高频率为w,则f(t)可以由其某一组在周期非均匀采样点t=τpm=tp+(mN/2w)，p=1,2......N，m=...-1,0,1...上的采样值唯一确定。其重构公式为：

式中

正是基于非均匀采样的思想，本文研究讨论基于小波变换的非均匀采样定理特性。

二、小波变换与采样

小波分析是克服傅里叶分析缺陷的一种新型研究信号的工具，傅里叶变换的基函数不是属于平方可积的信号空间即，而小波函数满足[4]。令小波函数的傅里叶变换为ψ(ω)，若其满足条件：

则称ψ(t)是一个小波母函数。小波函数具有衰减性和正负交替的波动性。由小波母函数经过尺度变换和位移变换可以得到小波基函数。图1所示就是一种小波基函数。

图1 小波基函数

连续小波基函数的数学公式可表示为：

式（6）中为尺度参数，b为位移参数。

信号f(t)的连续小波变换的定义式为：

可见小波变换将一维的信号变换成依赖于参数的二维分析，故小波变换实际上是一种升维分析。任何变换必须有其逆变换才有意义。小波变换的逆变换是存在的。根据小波变换系数可以精确的恢复原信号。小波逆变换公式为：

式（8）说明对连续小波变换系数与小波基函数的乘积再做二重积可确定信号f(t)的重构。

信号f(t)的连续小波变换系数信息是冗余的，在许多情况下，需要考虑数据压缩和存储计算，如图像数据压缩、语音数据压缩、数值计算等领域。希望在不丢失原始信号f(t)的情况下，尽可能地减小小波变换系数的冗余度。非正交离散小波变换能够满足这方面的要求。

式（7）中，当ψ(t)是正交小波时，应满足以下条件：

按照尺度参数=2-j，位移参数b=2-jk将小波离散化处理，降低了连续小波变换的冗余性。

将式（10）带入式（7）得

其中。

式（13）就是小波采样定理。对于任意f(t)∈L2(R)，连续小波变换系数Wf(a,b)把尺度参数和位移参数离散化后的Wf(2-j,k×2-j)与插值基函数Tj,k(a,b)相乘，二重求和就可以重构原始信号。

三、Harr小波

以Harr小波为例，它是最早用到的，最简单的具有紧支集的正交小波。

图2 Harr尺度函数和Har小波函数

由式（13）得。

下面分情况讨论，由此得出了中的表达式和图像。

情况①：当，即

则由式（16）得

同理，情况②：当

情况③：当

利用MATLAB画出情况③的Tj,k(a,b)图像如图3。

图3 情况③的图像

情况④：当

利用MATLAB画出情况④的Tj,k(a,b)图像如图4。

图4 情况④的图像

四、结束语

随着科学技术的飞速发展，计算机和数字化处理得的实际运用越来越多，采样理论已经成为现代信号处理领域的重要基础和关键技术。经典采样定理仅对带限信号成立[5]。实践中在处理频域非紧支集和非均匀采样信号时，香农定理很难保证信号的无失真传输，为解决这一问题，广义采样理论得到了迅速发展，广义采样研究的一个重要方向即是小波采样理论[6]。本文以Harr小波为基础，详细逐步推论出小波采样定理的优越性。在香农采样定理当中，单位理想冲激串是等间隔采样的，而小波采样定理却不要求等间隔采样，而是以2-j整数倍为采样间隔。同时在香农采样定理当中，要求原始模拟信号f(t)是频带有限的连续信号。而利用小波采样理论却只要求信f(t)∈L2(R)，也即。这显然降低了带限信号的要求。由此看出小波升维分析的优越性。

[1]王志田.军用软件无线电通信技术发展分析[J].中国新通信，2016(24)：23-24.

[2]燕庆明.信号与系统教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010：139.

[3]李秋生，也丽华.带通信号采样理论中的若干问题研究[J].井冈山大学学报（自然科学版），2017(2)：61-65.

[4]王经民.小波分析[M].陕西：西北农林科技大学出版社，2004：190.

[5]周盼盼,付应雄.一类非带限信号的采样定理[J].湖北大学学报（自然科学版），2017(5)：542-545.

[6]张治国,黄建国,刘震.小波采样的滤波算法研究[J].湖北大学学报（自然科学版）电子科技大学学报，2010(6)：900-905.

[责任编辑 郑丽娟]