二次曲线系在圆锥曲线中的应用

潘志远

摘 要 众所周知，解析几何是高考中的一个重点与难点，对解析几何知识掌握的好坏与否，一定程度上关乎最终成绩的好坏。然而，运算复杂早已成为解析几何的代名词，对于考试紧迫的时间，尤其对运算能力不强的学生，能用更短的时间和更小的计算量来解出题目会更有信心完成后面的题。而二次曲线是高中人教版必修2中直线与方程中的一个非主干知识点，不属于超纲的内容却在一类题中发挥着不可小觑的作用。在此，笔者介绍圆锥曲线中二次曲线系的应用以解决部分偏难题目。

关键词 二次曲线系 双直线方程 渐近线联立 帕斯卡定理 圆锥曲线

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

背景知识：高中二次曲线包括圆、椭圆、抛物线、双曲线、两条相交直線（退化的双曲线）等，其方程为：

对于某些二次曲线的问题，可用二次曲线系方程代定系数，然后通过所求的二次曲线的特定系数要求解出之。

对于二次曲线的一般方程，由圆系方程进一步可知：

结论：过两个二次曲线，的交点的二次曲线系可设为

例1：（2012浙江）如图，分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的离心率为。

标准解答：线段的垂直平分线为，，

两条渐近线分别联立得到：

由

的中点

令，

则

又 即

以上叙述将函数与两渐近线分别联立的方法过程繁琐，而且求中点时分母需通分，麻烦易错。

以下运用双直线系的方法求解：

构造曲线系（上所有点坐标同时满足）

联立得到

，过

即

通过对比可知利用曲线系的知识解题，不仅思路简单，连计算都简单许多。在简化题目的同时也体现了更高层次的数学思想。

例2：（2016湖北高考）已知椭圆的方程，设动直线与定直线 ，分别交与两点，若与有且仅有一个公交点，试探究面积是否存在最小值？若存在，求出该值。若不存在，说明理由。

解：

（上所有点坐标同时满足）

联立得到：

，

由弦长公式：

∵直线与椭圆相切

∴联立得到

例2为高考原题，参考答案对此题采取分别联立的方法，过程相当繁琐，再与距离长度等结合就会形成很长的等式，容易出错，用曲线系的方法明显易于解决。

上述两题，虽然计算复杂但还没有到无法解出的程度。但是以下的问题，涉及两种二次曲线的线性组合，不用曲线系的方法就几乎无法解出。

例3：（2016武汉二调）设直线与椭圆交于两点，过的圆与椭圆交于另外两点，则直线的斜率为（答案：-3）

解：设

可以设 又可令

则

由于轨迹是圆，则项系数为0，即，

∴

分析：以上题目如果使用将四点求出再用四点共圆的性质求解，难度可想而知，但用曲线系与圆相结合的方法问题就可迎刃而解。

例4：（2011全国高考节选）已知过椭圆 与椭圆相交于两点，与椭圆交于两点，试证在同一圆上，并求圆的方程。

解：将联立得到：，

椭圆方程

共同得到

（为过四点的二次曲线）

由于此方程为圆，故

由以上可知用曲线系的性质不仅能使问题迎刃而解，甚至可以解出一些用常规方法无法解出的问题。

归纳：曲线系分为同样类型函数的曲线系和不同类函数组成的曲线系，但加以利用都可以达到简化运算、清晰思维的作用，因此学会此类方法对我们是十分有益和重要的。