一次质疑背后隐藏的运算顺序设计原理

广东深圳市福田区彩田学校（518000） 黄勋强

一位教师在教学“乘法和加、减法的两步混合运算”（北师大版教材四年级）时，先提出情境图中（列式为：和）的两个问题，在分析题设条件后，让学生揣摩计算步骤并阐明理由，最后，在学生汇报展示后做出先算乘法后算加减的小结。显然，这种小结有强制灌输之嫌，因为这个规律显然违反了一贯的从左至右的运算顺序，所以学生难以接受。因此，只有通过一系列数学活动来阐释和揭露其中的道理，方能让学生信服。

环节一：用算式记录数数过程——让顺序占理

【活动1】数星星

师（出示“星阵”图 1：18颗星点（如图1））：想数清图中共有多少星点，如何操作才比较方便？

生：2个2个地数；3个 3个地数；5个5个地数……

图1

师：谁来演示5个5个地数？

（生1演示如图2）

图2

图3

师：生1数了几次？

生2：数了3次，剩下3个。

生3：也可以数4次，只不过最后一次不够数，只能数出3个。

生4：最后一次缺2个。（如图3）

（设计意图：数星点是低年级学生喜闻乐见的游戏活动，选择的两种数法体现了两种情况：刚好数完与有剩余。前者是与整除平分不谋而合，后者则会让学生产生认知障碍。学生经过探究辨析后求同存异：“5个一起数，点算 3 次，余 3 个”，即“有余”（如图 2）；“数 4 次，缺2个”，即“不足”（如图3）。这两种思路，都与乘加、乘减相关，不管是“剩余”，还是“欠缺”，数的过程都是先求出5的倍数（乘法），再加减零头。）

【活动2】列式

师：你可以用简洁的算式表示2个2个地数吗？

生：2×9、9×2、2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2。

师：用同样的方式表达5个5个地数的方法。

生1：5×3＝15，15＋3＝18。

生2：5＋5＋5＋3。

生3：5×3＋3。

生4：5×4－2。

师：上列算式都能呈现数星点的过程吗？5×3＋3这个算式夹杂着乘法和加法，计算顺序是怎样的？为什么？

生5：先算5×3，代表3次数了5个，再加上剩下的3个。

师：由此看来，计算顺序忠实地服从了我们的操作过程。请读出式子，要强调先算5×3的信息。

生6：5乘以3，然后加上3；5乘以3的积加3。

（设计意图：算式是对数星点的一种符号记载，2个2个地数的算式是温故乘法的意义；5个5个地数的算式是新知。从数星点到列式，是抽象到具象的过程，而数星点的程序暗含了计算次序的编排，让学生联系点算过程和列式形式，再研究“乘加混杂，先算什么”，就是用数星点的操作活动来推动学生思考运算顺序，顺理成章。）

环节二：用示意图诠释算式——让“顺序”说理

【活动3】找图形

师（展示“星阵”图 4：23颗星点（如图4））：能学着刚才的样子来列式表达吗？（展不同数法示意图（如图5、图 6、图 7、图 8），学生写式子）个就够6份。也可能是图8，6个6个地数，差1个就凑够4份。

图4

师：假如这两个算式是出于同一幅示意图呢？

生4：那就是图6。

师：请大家推断其余算式分别代表哪种数法，然后与同学交流。

（设计意图：星阵图选择23这个数据，是因为23是质数，没有因数，迫使学生列出的算式必须带有“零头”，也就是必须包含加减法。反馈时，没有评讲，而是逆向追溯，这样既能增加练习的新鲜度，又通过正反双向贯通，让学生思路更清晰。）

图5

图6

图7

图8

师：对于算式“5×4＋3”，你能看透式子背后蕴含的数法吗？

生1：这个算式对应的是图6，明显看出是4个4个地数，数了5份，多出3个。

生2：这个算式也可能对应的是图7，明显看出是5个5个地数，数了4份，多出3个。

师：6×4－1 呢？

生3：可能是图6。可以这样看，4个4个地数，差1

环节三：用故事丰盈算式——让“顺序”合理

【活动4】讲故事

师（课件展示：“星阵图”里的星星扩大变化成气球）：现在星星变成了气球，你能现编一个故事吗？

生1：为了庆祝国庆节，同学们扎气球为祖国献礼，每5个扎一束，扎了4束，还多3个，共有几个气球？

师：如何列式？

生2：5×4＋3，5×5－2。

师：运算顺序是怎样的？理由是什么？

生3：先算5×4，代表能够扎4束，再算上剩下不够扎一束的3个，就是气球总数。

师：这些星星还能变成什么？用你丰富的想象力来编故事。

师（展示气球图）：有个学生根据气球画面列式为23－5×4，背后有什么故事呢？

生4：为了庆祝国庆节，少先队准备了23个气球，打算扎成“团结”的图案，每5个扎一束，扎了4束后，还剩下几个气球？

师：运算顺序是什么？说明你的理由。

生5：先算5×4，代表扎图案用掉气球的个数，再从总数23里面抵扣，就是剩余气球的个数。

（设计意图：星星只是一个计数代码，具有抽象性，可以被任何实物取代。本环节充分调动学生的想象力，让学生赋予星星各种变化，既增强了学习乐趣，又凸显运算的算理。在这些童话般的变化中，学生逐渐感悟到其中的辩证关系：算式不变，算理不变，计算顺序不变。）

设计算式“23－5×4”是为了追求变式，以此来发散学生的思维，因为前面“乘在前，加（减）在后”的范式，会对学生造成误导，学生很容易想当然——乘和加、减混合运算的顺序就是“从左往右”，教师只有及时补充特例，才有利于学生形成全面且正确的认知。

教学活动的素材选用的一直是“星阵图”，主要是考虑到低龄学生注意力难以集中，花哨鲜艳的素材，会暂时引起学生浓烈的兴趣，但也会喧宾夺主，掩盖和削弱知识本身的吸引力。“星阵图”虽然略显单薄，但在赋予它各种变化后，也能吸引学生去关注数学知识本身。

综上，四次活动一以贯之，逐级递进，自始至终沿着着“图形→表述→算式”的逻辑铺开，既有顺向明证，又有逆向反证。这样，学生就能牢牢掌握“混合运算顺序”的理论基础。