溯折法之源，锻思维之刃——以正多边形折法为例

林亚波

(浙江省宁波市第十五中学 315000)

一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化，如千纸鹤、飞机、青蛙等等，大部分学生只学会了一种折法，但不知道为什么这么折，也不会去创造新的折法.很多文章也介绍过如何折 角，如何折特殊正多边形，但也都是先给出折法，再证明图形，而对为什么这么折没有进行探究.本文笔者要寻找如何折纸的源头，在草稿纸上先画出要折的多边形，再利用折叠的原理分析折痕的产生过程.先画后折使折纸问题知其然并知其所以然.

一、折纸的基本原理

其实质是：图形作轴对称变换(对称轴：折痕所在的直线)，折叠产生折痕，这也就是寻找折纸方法的主要出发点.

二、利用矩形折正方形

如图1，假设已经折出正方形，先在矩形上画出正方形ABCD.怎么通过折叠得到AB=AD？过点A将AB与AD所在直线重合，对折得到折痕AC，再沿CD对折就能得到正方形ABCD.在分析图形的过程中自然找出折痕，从而得到折法.

三、利用正方形折正三形

方法一：如图2，假设已经折出了正三角形，先在正方形纸片上画出这个正三角形△BCE，再去寻找折痕.正三角形的顶点E肯定在BC中垂线上，所以AB和CD重合，对折得到折痕.中垂线上有许多点，怎么确定点E呢？正三角形的边BE=BC，而AB=BC，所以BE=AB，只要把AB过点B对折过来，让点A落在中垂线上，再沿BE折叠.另外一边同样折法.利用折叠的基本原理，通过几何图形的分析找到折痕，折法顺利出现.

方法二：如图3，BE=BC还可以怎么实现？直接将BC过点B对折，使点C落在BC中垂线上，沿BE折叠，再沿CE折叠.

方法三：如图4， 第一种折正三角形的方法中∠ABF等于15°，利用15°的折法得到∠FBC=75°，而75°-15°=60°，那么75°-15°怎么通过折叠实现呢？以BC为边再折一个∠CBG=15°，再沿FG折叠.

四、利用正三角形折正六边形

如图5，假设已经折出正六边形，正三角形和正六边形有公共的中心点.那么中心点由已知的正三角形怎么折叠得到？将三角形沿两个顶点对折两次，这两次折痕的交点就是中心点O.以点A，B，C为顶点的三个小三角形都全等，中心点O到正六边形各顶点距离都相等，而将中心点和正六边形的各顶点连起来以后所得到的所有正三角形也全等，那么怎么通过折叠得到全等三角形呢？只要将顶点A折叠下来和点O重合，点B和点C也同样处理就可以得到正六边形.通过图形研究，找到折痕，也就决定了折叠方法.

五、利用正方形折正八边形

方法二：如图7，方法一是从正八边形的边长角度分析来找折痕，下面从角的角度分析来找折痕.把正八边形的中心点和顶点连起来，发现对角线之间的夹角为45°.只要将正方形的四条对称轴连起来，就能折出这样的45°角.每条正八边形的对角线和正方形的对称轴之间的夹角为22.5°，可以通过将正方形纸片多次对折实现.

以上几种对正多边形折法的寻找可以发现，折纸不再是别人告诉你怎么折，而是自己去探究.例如以前要折一个正八边形，没有人教你怎么折的情况下无从下手，而先画出要折叠的图形，纸上谈兵，通过数学知识结合图形分析可以寻找折痕的蛛丝马迹，折法自然就出现了.解决折纸问题要溯其根源，在折纸中折出数学思维，领略折纸背后的数学之美.

参考文献：

[1]万涛.有关初中数学折纸问题的分析[J].数学之友,2012(24).

[2]陆剑鸣.用长方形纸折出多种图形[J].中学生数学,2015(1).