拨开云雾见月明

陈芳

摘要：新课标指出，数学教育既要使学生掌握现代生活中需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.因此，近年中考数学试题进行了大幅度改革，规律探索题频频出现在各地试卷中，异彩纷呈，成为热点、创新题型之一.解规律探索题的关键是，准确找出题目中隐含的规律，即拨开云雾.一旦找对这个隐含的规律，问题就能迎刃而解，即见月明.

关键词：初中数学规律探索题

新课标指出，数学教育既要使学生掌握现代生活中需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用.因此，近年中考数学试题进行了大幅度改革，规律探索题频频出现在各地试卷中，异彩纷呈，成为热点、创新题型之一.

规律探索题，设计独特、新颖，蕴涵着丰富的数学思想方法，没有现成的模式可套用，需要学生先从已知的事物中找出规律，然后解答.规律探索问题符合人的认知规律，是训练、考查学生思维的灵活性和深刻性的创新题型.解规律探索问题，能使学生感受数学文化、拓宽数学视野、提高数学修养，还能帮助学生实现从模仿到创造的思维过程.

解规律探索题的关键是，准确找出题目中隐含的规律，即拨开云雾.一旦找对这个隐含的规律，问题就能迎刃而解，即见月明.

下面结合自己的教学实践谈谈解探索规律题的几种常用思路.

一、计算特殊情况，探索一般规律

探索数字规律，一般从运算入手，尝试着做一些特殊情况下的计算，从所得出的结果中，分析符号、系数、字母、指数等方面与序号之间的关系，从而找出其中的规律.

例1化简33…3n个3×33…3n个3+199…9n个9，并说明在结果中共有多少个奇数数字.

解析：本题粗看似乎无从下手，因为这里的n是一个不确定的数.为了解决这个问题，我们可以先观察n=1，2，3，4时的简单情形：

n=1时，原式=3×3+19=28；

n=2时，原式=33×33+199=1288；

n=3时，原式=333×333+1999=112888；

n=4时，原式=3333×3333+19999=11128888.

在这些特例中，我们发现规律：

33…3n个3×33…3n个3+199…9n个9=11…1（n-1）个1288…8n个8，结果中奇数数字有（n-1）个.

点评：对于较复杂的图形类规律题，常涉及各知识点的综合运用，导致学生常常无从下手.对于这类题，可以根据相应知识点先算准初始情况下的基本数据，然后找出数据规律.

例2正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图1的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k>0）和x轴上.已知点B1（1，1），B2（3，2），则An的坐标是，Bn的坐标是.

解析：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b，可得y=x+1.由计算易得A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），可推得An（2n-1-1，2n-1）.由图可知，Bn的横坐标与An+1的横坐标一样，Bn的纵坐标与An的纵坐标一样，所以Bn的坐标是（2n-1，2n-1）.

点评：这里主要用到从特殊到一般的数学思想方法.通过对问题的简单情形或特殊情况进行分析、实验，从中发现一般规律.

二、 抓住主要矛盾，提取有用信息

有些题目看上去很大、很复杂，实际上关键性的内容并不多.认真分析这类题目，并把其中关键的内容抽出来，题目的难度就会降低，问题也就容易解决了.

例3观察下表.根据表中反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为.

第一列第二列第三列第四列

第一行1234

第二行2345

第三行3456

第四行4567

……………

解析：此题看上去数据比较多，实际上结合所求后我们会发现问题很简单：只需把左上角至右下角对角线上的数依次抽取出来，即1，3，5，7，…可见，这是从1开始的奇数排列，于是问题便转化成求第n个奇数的表达式.答案是2n-1.

三、善于比较鉴别，寻找异同点

“有比较，才有鉴别”.通过比较，我们可以发现事物的异同点，因而容易发现事物的变化规律.规律探索题，通常会先按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律.揭示的规律，常常与事物的序列号有关，所以把变量和序列号放在一起加以比较，就容易发现其中的奥秘.

例4观察下列各式.

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

猜想：13+23+33+…+103=.

解析：此題给出的都是等式.对于等式，我们要左右两边分别来考虑，需要进行比较的因素也比较多.从上到下观察左边，发现第n个等式的左边就是从1到n这n个连续自然数的立方和；而右边都是某个数的平方，关键是要发现这些底数的变化规律：仅将这些底数1，3，6，10，…与序列号相比较其规律表述不方便.换个角度，将右边的这个底数与左边的各加数的底数相比较，发现右边的底数等于左边的各加数的底数和.故13+23+33+…+103=（1+2+3+…+10）2=552.

四、找出关键变量，探究变化规律

规律探索题，一般都会涉及一个或者几个变化的量.找出规律，在多数情况下，就是要找出变量的变化规律.抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.

例5如图2，探索n×n的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数.

当n=1时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；

当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5.

对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.

解析：比较图2中第1、2两张图，发现实际上第2张图中包含有第一张图，即深色的那一部分，所以数第2张图中的线段种数只需数出不包含在深色部分的线段种数，即3种，再加上第1张图中的2种，即有2+3=5种.再比较第2、3两张图，易见第3张图比第2张图多4种，故第3张图共有2+3+4=9种；同样，可知第4张图共有2+3+4+5=14种.再利用上述讲到的第二种比较的思路，可知对n×n的钉子板，S=2+3+…+（n+1）=n（n+3）2.

五、寻觅循环规律，计算具体位置

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，问题就能迎刃而解.解决这类规律题，首先要找出一個循环节需要几次变化，并清楚循环节内数或图形的变化规律，其次要得到关于循环节节数的商和余数，最后由商和余数的实际意义作答即可.

例6把多块大小不同的30°直角三角板按如图3摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为.

OB=OA·tan60°=1×3=3，

OB1=OB·tan60°=3×3=（3）2=3，

OB2=OB1·tan60°=（3）3，…

∵2017÷4=506…1，

∴点B2017的坐标为（0，-（3）2018）.

总之，“条条道路通罗马”.解规律探索题的思路还有很多，这里只是简单地总结了一些常用的解题思路.要让学生快速、准确地解该类型的题，教师就要引领学生身临其境，从不同的角度去观察、分析、探索，培养学生的创造性思维，使学生在深入思考、寻找本质规律的过程中提高解题能力，从而适应时代的发展.