浅谈反证法在初中数学解题中的应用

莫美珍

摘 要：反证法在初中数学中有着广泛的应用，它的解题技巧对数学解题有很大的帮助，尤其针对一些难以着手的问题。教师通过研究反证法在中学数学中解题的范围和其在几种常用命题中的应用技巧，对反证法的分类进行讨论，根据用反证法在各类命题中的应用步骤、类型和规律分析，总结出反证法在初中数学范畴中的重要性。最后论述反证法这种思维方式在初中数学中所起的作用，要求学生能够用逆向思维来解决更多的数学问题，并结合生活的需要，解决生活中的难题。

关键词：初中数学；反证法；逆向思维

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）17-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.17.026

反證法的思维方式与正向思维方式相反，它遵循“由果溯因”这种思维模式。在数学解题中，教师要注意培养学生的逆向思维，从而提高学生的数学能力。反证法中独特、巧妙的思维方式可以使那些难以着手的数学问题迎刃而解。例如下面涉及的这几类问题，其思维方式都比较巧妙，这种解题方法对于提高学生解决数学问题的能力有很大的帮助，更能够帮助学生提高分析问题、灵活运用数学知识解决问题的能力。

反证法在初中数学教学中的应用比较广泛，通常在一些基本的性质、定理和重要结论中都有所体现，在某些难度较大的题目中更是不可或缺的。

一、反证法的定义及理论依据

（一）反证法的定义

反证法的基本理念是：在否定了原命题（真命题）后，找出必要矛盾，就可以证明原命题。在对一个命题进行证明时，可以先假设命题结论的对立面是成立的，若由已知条件可以得出两个矛盾的结论，或者导出的结果与定义、定理、已知公理、已知条件之一相矛盾，此时就可以说明假设是不成立的，同时也就证明了原命题一定成立。利用这种方式对命题进行证明的方法称为反证法。反证法可以归纳为：“否定结论，寻找矛盾。”

（二）反证法的理论依据

排中律和矛盾律是反证法中所应用的两种重要的理论依据，二者的概念有所不同。矛盾律表示：在同一个证明过程中，若存在两个相互对立的结论，至少有一个结论是错误的。而排中律表示：对于一个命题，它只能为真，或者只能为假，不会再出现其他任何可能。排中律对思维提出了两个要求，那就是明确性和清晰性，二者对同一律和矛盾律进行了某种程度的继承和发扬。排中律具有一个重要的特点：逻辑思维不只是要具有确定性，而且还要明确自己的立场，依据该特点，证明也将有法可依。

矛盾律和排中律中存在着相同点和不同点。相同点：两者都要求不能出现逻辑矛盾，若违背了排中律，那么也一定违背了矛盾律。不同点：矛盾律表明，当两个结论相互对立时，则一定存在一个结论是不成立的；排中律则表明，两个相互否定的结论中必有一个正确[1]。

二、反证法的解题步骤

用反证法证明问题通常可归纳为三个步骤：反设——归谬——结论。它们相互联系，是一个整体。第一步——反设。在用反证法证题时，反设是基础。反设的正确与否，会对解题的进度和结果产生重大影响。首先要弄清楚题设条件和结论，然后不重复不遗漏地找出与结论相反的假设，最后对结论进行否定或者肯定。这样就完成了反设。第二步——归谬。归谬是关键，也是反证法解题的难点所在。归谬即利用反设导致矛盾，是反证法的核心部分，所以要对推理方向反设后条件部分和如何找出矛盾有一个明确的概念。第三步——结论。结论即利用反证法证题所要得到的最终结果。归谬所得到的矛盾并不是什么新的理论，而是由于反设才产生的，所以命题原来的结论才能得以成立。至此，解题已经完成，自然就达到了反证法证题的目的。

在解题过程中导出矛盾是关键。常见的矛盾形式包括以下几种：自相矛盾，与假设矛盾，与已知条件矛盾，与定理、定义、公理矛盾。相比于直接证明，利用反证法证明问题，可以越过一些阻碍（有时候利用小学知识问题就可以得到解决）。反证法的优点也在于此。同时，反设使解题条件相比于原来有所增加，所以反证法在证明过程中具有明显的优势。

三、应用反证法解题时应注意的问题

（一）正确否定结论

正确否定结论是用反证法证题的前提条件。如命题：“在一个三角形中，内角最多有一个是直角。”“最多有一个”表示“没有一个”或“只有一个”，其反面可以是“三个内角都是直角”或“有两个内角为直角”，也就是说“至少有两个为直角”。

从上面例子看出，在解题中要善于抓住题型结构，适当地运用反证法，即通过否定原始结论而达到肯定原结论的目的，可以使一些难解的问题得到解决。如若否定这种原始结论，必须在逻辑推理过程中及时地发现矛盾和有意识地制造矛盾。反证法能够加强对学生逆向思维的训练。学生逆向思维能力的培养，不仅能加强学生的思维能力，还能有效提高数学教学质量。

（二）明确推理特点

反证法的核心是：否定结论并推出矛盾。但我们事先无法预测会出现何种矛盾或者何时会出现矛盾，因此矛盾具有不确定性。通常可以猜想矛盾出现的相关领域，该领域可能与命题有关（例如，如果是平面几何问题，一般会联想到有关的公理、定义、定理等），这也是反证法的一个重要特点。一般情况下，我们无法对矛盾进行规定或预测，而且这也是不必要的。只要能够做到假设无误，推理严谨，有理有据，自然可以找出矛盾，使结论得到证明。

（三）了解矛盾种类

在运用反证法进行证明的过程中，是否始终只会导出与题设或部分题设矛盾的结果呢？答案是否定的。矛盾的结果可能是多种多样的，可能与题设或部分题设相矛盾，也可能与已知真命题相矛盾。不仅如此，也可能与临时的假设相矛盾，或者与已知定义、公理、定理或性质相矛盾。同时，推导出一对互相矛盾的结果也是有可能的。

四、反证法在初中数学中的作用

（一）反证法在初中数学中的魅力

反证法是一种逆向思维的间接证法，这种思维特点先从命题的题设切入，找出矛盾后从而确定其真实性。反证法的思想独特，手段灵活，但是，初学者常常因为它是一个逆向思维而不习惯，也把握不到它的要领，有的甚至避而不用。其实在证题术中反证法占据很大地位，它不仅能夠用来论证，还能在论证中体会很多新的发现。

在一些不易直接解决的数学问题中，可以巧妙地利用反证法来解决。不仅如此，当我们在日常生活中遇到难题时，也可以学会把问题倒过来看。初中数学中的各个部分都可以用反证法来解决。例如，数学中的代数部分、几何部分、数论部分都可以运用反证法。在运用反证法解题的实践过程中你会发现，反证法是一种非常方便灵活的方法。

反证法被称为“数学家最精良的武器之一”，其地位自然不言而喻。通过反证法，可以有效提高学生的推理能力，开阔学生的视野，更有利于训练他们的发散思维。反证法不仅能够单独使用，还可以与其他方法相结合。在同一道题目中，反证法可以多次反复使用，有利于快速解题。只要能够理解反证法的规律，就可以运用自如，培养出清晰、缜密的逻辑思维能力[2]。

（二）结合生活实际，灵活运用数学思维

数学学习应该注重思维能力的培养，通过所做的题目思考解题技巧，增加学习热情。遇到难题时不要轻易放弃，要增加自信，迎接挑战。而反证法在生活当中也有着不可小觑的作用。在数学解题中，如何能正确从解题中学习其思维能力是一个值得深思的问题。培养学生思维的过程中要以学生为本，从生活实际出发，从真实状况出发。基于这一理念，把反证法融入到生活当中，使问题变得更有趣、更精彩。教师在教学中不应该照本宣科，而要引导学生的探索兴趣，调动学生自主学习的积极性，在教学过程中应渗透数学思维，把数学学习当作一件有趣的、快乐的、光荣的事情去做，让学生打心眼儿里爱上数学。

五、结语

反证法在数学解题中所占比例越来越大，涉及的内容也比较深，题型更是多样，一般的学生难于驾驭。在解决问题的过程中学生会遇到各种各样的问题，很多看似很难的问题，其实用反证法解决就简单多了。但很多学生不会马上想到用它来解决，解题中也很难找到与原命题相矛盾的反设，从而感觉对反证法难以把握。然而当学生能够看透反证法的本质，并把握其解题步骤，并能够熟练假设问题的矛盾时，就能思路清晰地使问题迎刃而解了。尤其是用反证法来思考平面几何问题、唯一性命题、不可能命题、无穷性命题时，对学生的解题帮助很大。

参考文献：

[1] 亢惠兰.改变命题迂回求解——反证法的逻辑原理及在解题中的应用[J].基层医学论坛，2012（27）：133.

[2] 沈有钊.关于用反证法证题的探讨[J].黔东南民族师专学报，1994（Z2）：61.