让学生经历数学模型的建构过程

罗晓芳

【摘要】本文论述在小学数学教学中，通过内容重组、新旧同化、有序拓展、难点突破等方面渗透模型思想，让学生经历模型构建的过程，培养学生的建模思维，帮助学生提升数学素养。

【关键词】小学数学 建模思维 数学模型

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）03A-0063-02

什么是数学模型？张奠宙教授认为，数学模型就是利用数学语言来模拟现实的模型。从广义上来说，一切概念、方程式函数以及相应的运算系统，都是数学模型。什么是数学建模呢？就是运用数学模型来解决现实生活中的实际问题的一种方法。这种方法是对实际问题进行抽象、简化，并建立起数学模型，然后根据数学模型求解，最终获得解决问题的方法和策略。在小学数学教学中，学生对数学模型的学习并不是一张白纸，大部分学生已经具备了探究新知的相关技能，对问题情境中的各种信息能够准确感知，并做出判断和选择。因此，教师要在教学活动中渗透模型思维，引导学生全程参与模型构建的过程，感受数学模型的形成，由此对模型进行简单的解读和运用，从而提升数学建模思维。

一、重组教材内容，经历意义构建过程

在小学数学教学中，学生由于生活经历有限，对一些实际问题了解不深，这就需要教师根据教材内容，结合学生的已有知识和已有经验，对实际问题进行简化和数学抽象，重组教材内容，设计出学生更容易理解，更能够直观感知的教学素材，带领学生经历建模意义的构建过程，帮助学生接近问题的本质，提高学生的数学应用意识。

在教学人教版三年级下册《认识小数》时，教材以学生测量长度引入，发现课桌的长和宽分别不到一米，可以用什么来做单位呢？用分米是用整数表示，用米是用分数表示。在此基础上引入用小数表示，从而导入“认识小数”的课题。但在教学实践中，笔者发现学生对用分数来表示有难度，从用分数表示引入用小数表示更要花大力气，最关键的是因为过分在意分数，就淡化了分数和小数的关联，因此也就不能将精力放在小数的意义这个教学难点上了。基于此，笔者对教材内容进行了重组，尝试用直观图引入（如图1），引导学生思考：这两幅图中阴影部分能够用整数表示吗？为什么？应该怎么表示呢？

学生很快就能够根据所学的分数知识，得出答案：一个是[210]，另一个是[710]。此时笔者继续让学生思考：分数[210]，还有没有其他的写法？笔者板书[210]=0.2，引出小数的课题。紧接着引导学生分析探究：请你想一想，0.2是怎么得来的呢？学生根据直观图，认为是将一个正方形等分成十份，表示这样的两份就是0.2。0.2还可以用分数[210]来表示。笔者继续追问：“0.2表示[210]，[210]可以写成0.2，那[710]能写成什么？我们今天学习了零点几的小数，零点几的小数可以什么分数来表示呢？你发现了什么规律？”学生发现，零点几就表示十分之几，十分之几就是零点几。最后，笔者设计了巩固练习（如图2），让学生将分数和小数灵活地转换，打通了分数和小数之间的意义构建。

通过对教材内容的重组，教师把握了学生的认知起点，运用直观图形让学生更加形象地体会小數和分数的联系，直观地理解了小数的模型：十分之几就是零点几，零点几就是十分之几，从而帮助学生实现了小数意义的构建。

二、新旧知识同化，经历结构建模过程

学生的学习是将已经掌握的数学知识，通过新旧知识的同化，转变为自己经验的过程。教师可以借助学生已有的知识，将新知放置在学生已有的认知体系结构中，加强对数学建模思想的渗透，让学生经历结构建模的过程，形成良好的认知体系。

在教学三年级上册《认识几分之一》时，笔者设计了三个层次的教学环节，层层推进。

1.让学生“构建一个物体的几分之一”的数学模型。笔者让学生思考：如何才能找到一个圆的[14]？（如图3）学生认为，只要将一个圆等分成四份，其中的一份就表示一个圆的[14]。

2.让学生构建“一些物体组成的一个整体的几分之一”的数学模型。笔者出示图4和图5，让学生思考：如何找出图中这几个圆的[14]？学生通过分一分、涂一涂，再进行交流讨论，对几分之一有了更进一步的感知和体验。

3.引导学生构建“一个整体平均分”的思维模型。笔者让学生思考：我们刚才找到的一个圆的[14]，8个圆的[14]，还有12个圆的[14]，这三个[14]有什么不同？有什么相同？学生发现，同样都是[14]，都是等分成四份表示其中的一份。不同在于，他们等分的个数不同。也就是说，可以将它们看作一个整体来等分成四份，表示其中一份就是[14]。笔者引导学生继续深入：即使有20个圆、120个圆，或者更多的圆，只要将它平均等分成四份，找到它的其中一份，就可以用分数[14]来表示。

教师利用学生的已有知识，引导学生将已有经验转化成新的经验，从“把一个物体平均分”到“把一个整体平均分”，顺利实现了认知突破，通过新旧知识的同化，构建新的认知结构，完成了数学模型结构体系的构建。

三、有序拓展素材，经历变式建模的过程

对学生来说，学习数学不仅要学习知识和技能，更要掌握举一反三、抽象概括的能力。数学思维具有扩张性，教师可以从教材出发，但不能止于教材，针对教学素材进行有序地延伸，引导学生借助变式进行内化和强化，让学生对概念的表征达到一个较高水平的概括，通过思维发散和联想，经历变式建模的过程。

在教学三年级上册《倍的认识》一课时，笔者将教学重点放在素材的变式练习上，让学生通过变化，理解一个数是另一个数的几倍这一本质。原有2朵黄花，8朵红花，又添上了4朵红花，追问学生：红花是黄花的几倍？为什么？学生认为，红花是黄花的6倍，因为现在红花有6个2朵。笔者继续进行变式训练：如果去掉8朵红花，现在红花是黄花的几倍？为什么？如果去掉2朵红花呢？学生很快得到了答案。在学生顺利完成之后，笔者又设计了稍微复杂的变式练习：如果老师要添加上1朵黄花，变成3朵黄花，6朵红花，现在红花是黄花的几倍？学生回答两倍。笔者追问：红花的朵数没变，为什么倍数变了呢？学生说黄花现在有3朵，红花有两个3朵，所以红花是黄花的两倍。也就是说，黄花是3朵了，那么红花就不能再两朵两朵地分了，而是要按照三朵一份来分，这样就分到了两个3朵，就表示红花是黄花的两倍。笔者继续深入：如果变成1朵黄花，6朵红花，红花是黄花的几倍呢？学生很自然地给出答案，红花是黄花的6倍。此时，笔者引导学生审视整个过程并思考：不管红花和黄花的朵数怎么变化，想要知道红花是黄花的几倍，应该怎么想呢？学生经过讨论后认为，要想确定红花是黄花的几倍，就要先看黄花有几朵，根据黄花的朵数，把红花几朵几朵地分，红花中有几个黄花的朵数，那就表示红花是黄花的几倍。

教师充分利用例题，精心设计变式练习，通过不同角度组织感知素材，改变数学概念的非本质属性，让学生深入理解本质属性，出现了不同角度的“几个几”，进而让学生真正理解“倍”的内涵。

总之，小学数学建模的过程，实际上就是学生经历数学化的过程。在让学生经历数学知识体系建构的过程中，教师紧紧抓住问题的本质，引导学生利用已有经验，将生活问题抽象成数学问题，逐步感知和深入理解数学模型的价值和意义，从而让学生学会分析问题，进而解决问题，有效提升学生的数学素养。

（责编 林 剑）