基于数形结合思想在高中数学解题中的应用

张潇译

【摘要】作为数学解题中常见的一种方式，数形结合方法的使用使得解题过程更加简单、直观.本文以数形结合思想在高中数学解题中的应用为研究内容，通过实际案例分析，对数形结合思想的应用进行讲解，以指导高中生对这一解题思想的灵活应用.

【关键词】数形结合；高中；数学；解题

在数学解题过程中，利用几何知识与代数知识的转换，能够有效降低题目难度，使解题步骤更加清晰，提高了解题的准确率.

一、数形结合思想概述

数形结合思想中的“数”意味着数字、代数，而“形”这代表着几何图形，数形结合思想就是将这两种简单的数学基础知识进行融合，使用几何图形关系来表述代数关系，而代数关系也可以通过几何图形进行直观的展现.因此，在数学解题过程中，数形结合思想的应用主要有两种形式：代数知识辅助解答几何题目，或者是几何知识辅助解答代数题目.

二、数形结合中的转换措施

根据数形结合的实际使用效果来看，“数”与“形”之间的转换的形式多种多样，具体包括“形”向“数”的转换、“数”向“形”的转换，以及“数”和“形”之间的相互转换.

在“形”向“数”的转换过程中，是根据当前题目中所给出图形的已知信息，经过分析，找出在几何图形中所隐藏的代数关系，并用数字进行表达，对几何图形类题目的解答提供帮助.

“数”向“形”转换的实际使用有着一定的限制，多以题目中的问题进行假设，并将假设以几何图形的方式进行展现，从而有助于更好地说明假设中所表现出来的数量关系.

“数”与“形”之间的相互转换，在实际解题过程中的应用较为广泛，其主要利用了数学知识中“数”“形”相互对立的思想，在几何图形与代数关系之间寻求转换的平衡性，以利于对题目的分析和解答.

由此可见，数形结合思想的使用，需要根据实际题目的需要选择合适的“数”“形”转换措施，单一的数形结合转换措施并不能解决所有问题.

三、数形结合思想在高中数学解题中的实际应用

高中数学解题过程中，数形结合思想的使用不仅提高了数学解题的速度和准确度，也在一定程度上培养了学生的数学思维能力，提高了学生对数学学习的兴趣.

（一）集合类型题目中的数形结合思想

在高中数学基础知识中，集合知识属于考试的重点内容，并作为数学知识延伸的重要铺垫，在教学内容中属于较为重要的部分.其中，集合知识中的交际、补集、并集等知识的介绍，就用到了几何图形辅助描述，因此，在高中集合类型题目的解题过程中，使用数形结合的思想也就不足为奇.

例1 存在两个集合M，N，集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N=M={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，求M∩N中元素的数量.

解析 如果采用直接求解法，将题目中的两个方程x2+y2=1，x2-y=0组成方程组，求得对应未知量x，y的取值范围，尽管，这种解题方法可以得到最终答案，但是，对于数学基础较差的学生来说，解题过程过于烦琐，不仅浪费了大量时间，出现错误的可能性也大大增加.在该题目中，以数字形式表述的集合关系过于抽象，即便通过计算求得了相关未知量的取值范围，也需要利用几何知识进行直观的展现.其中x2+y2=1是半径为1的圆的通用表达式，而x2-y=0则是常见的抛物线，因此，求解两个集合的交集，也就变为求两个图形的交点，解题难度大大降低，思路也更加清晰.

（二）函数类型题目中数形结合思想的应用

函数的学习几乎贯穿于数学学习的整个过程，是数学知识体系中较为基础的内容，在高中阶段的函数学习已经不再是简单的函数基础知识学习，更重要的是学会利用函数关系解决实际问题.对于这一理论性与抽象性同时存在的数学基础知识，在相关题目中，该类型题目不仅包含多种函数关系，还可以借助几何图形进行辅助理解，极大地降低了函数类型题目的难度，提高了解题效率.

例2 求解方程sin2x=sinx在区间x∈（0，2π）中的解的个数.

解析 该题目看似简单，但是其中涉及的知识内容则较为丰富，如果直接进行解题，则需要进行适当的函数变形，利用sin2x=2sinxcosx=sinx的变化关系，且在区间x∈（0，2π）上，sinx≠0，所以，cosx=12，这样也可以找到3个答案与之对应.但是，对于函数变形掌握程度较差的学生来说，则可以使用数形结合的思想进行解答，通过建立坐标系的方式，将两个三角函数在利用平面几何图形进行展现，在保证几何图形绘制过程中相关参数正确的同时，就可以直观地发现两个图形的交点数量，问题也就得到解答.

基于数形结合思想在数学解题中所体现出来的简便性、高效性等特点，在实际解题过程中，也常常被用来检验答案是否正确.因此，掌握数形结合思想，对于提高数学解题效率有着极为重要的作用.

四、总 结

在高中数学解题方法中，数形结合思想有着较为广泛的应用，基于数形结合思想在数学解题中应对措施的不同，在使用这一方法进行解题时，应明确“数”“形”之间转换关系，选择与之相适应的解题方法.盡管，数形结合思想能够帮助高中生提高数学解题效率，却不能忽视数学基础知识所起到的重要作用，牢固掌握数学基础知识，建立完善的“数”“形”知识体系，能够促进高中生对数形结合思想的有效应用.

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