数学分析教学探究

马忠莲

【摘要】本文通过作者多年数学分析教学经验的思考，总结出一些数学分析教学中的基本概念的理解与认识的方法.在教学过程中向学生讲解清楚这些理解与认识，能够降低学生初学数学分析的学习难度，提高学生对数学分析课程的理解的深度，更有效地把握数学分析的思想方法，高效率地真正学懂数学分析，提高分析解决问题的能力，并能应用数学分析中的思想方法和知识解决实际问题.

【关键词】数学分析；关系；教学

数学分析对理工科学生来说是一门专业基础课，而在二本及专科学生普遍认为该门课程抽象难学.究其课程本身的原因大致为三个：第一，课程内容丰富.数学分析大致250～300学时左右，上下两册，八百页左右，这么多的内容，学起来难度大.第二，极限本身难于理解.很多学生在理解极限思想和定义时就一知半解.第三，初学者未能很好地把握知识间的密切关系和解决问题的方法.课程原因与学生基础问题的共鸣产生了学弱现象，使得大部分学生根本达不到课程学习的最终目标，就这样草草了结.知识上对后续学习产生了影响，从能力提升上达不到学科的真正要求.经过长期教学实践证明，在教学中重视引导学生发现和把握下文探讨的学科规律认识，大大地降低了学生学习数学分析的难度，并能更加有效地达成课程学习目标.下面我们就围绕以上三点来谈谈数学分析教学中有必要让学生把握的一些认识.

一、数学分析课程内容的全面认识

数学分析内容很多，让初学者摸不到头绪.在教学时不断强调数学分析课程只做一件事情，就是以极限为工具在实数范围内来研究函数，让学习者轻装上阵.数学分析的每一章节无一不是在研究函数，而且都是用极限研究函数.具体做了如下事情：① 极限思想，函数的极限定义和计算极限值.② 用极限定义一种特殊重要的连续函数.③ 用极限定义函数的导数.④ 用极限定义出的函数导数研究函数的近似计算.⑤ 用极限定义出的导数把函数展开成多项式.⑥ 利用极限定义出的导数讨论函数的单调性与极值和最值、凹凸性与拐点，渐近线，描绘出了函数的图像.⑦ 用极限定义出的定积分讨论一元函数图像（曲线）所围区域面积，一元函数图像（曲线）的弧长，一元函数图像（曲线）旋转所得旋转体体积.⑧ 用极限定义出的导数把函数写成级数，又可以用级数来研究函数.⑨ 用极限定义出的偏导数研究多元函数.⑩ 用极限定义出的重积分研究多元函数所对应曲面围成的空间几何体体积.B11 用极限定义出的第一型曲线积分求物质曲线的质量.B12 用极限定义出的第二型曲线积分讨论力场做功问题.B13 用极限定义出的第一型曲面积分求物质曲线的质量.B14 用极限定义出的第二型曲面积分求流过曲面S的流量.可见，除了第①没有什么新的内容，都是在①极限的基础上来用已知探求未知，整个学习过程同时也是我们用极限探索函数性质的过程.让学生明白这一点能使学生对课程有一个全局性的把握，学习时思路清楚、目标明确.

二、关于极限的认识

（一）极限思想是一个用已知探求未知的过程，是规则到不规则的研究过程

让学生在学习中不断认识体会用已知探求未知的过程，从规则到不规则的探究过程.不论是从数学分析的知识的学习把握，还是从学生解决问题能力的提高上都很重要.这是一个让学生更好学会认识和解决所有客观问题的思想方法，是提高解决问题能力的基本方法.例如，求圆的周长，未知曲边形周长用极限思想转化为已知正多边形周长，用已知探求未知，用规则的正多边形周长探求不规则的圆周长，工具是极限.数学分析里每一个问题的解决都毫无例外地使用了这一思想.整个数学分析的内容就清晰透彻地多次重复体现了这一过程.然而，在教学中我们发现，学生在做了很多题目后仍然没有用已知探求未知的意识.因此，教学中有必要就着极限实例不断强调这一思想方法，一方面，使极限本身更易于理解，另一方面，也提高了学生解决问题的能力.

（二）极限思想的关键是用极限将近似变成了相等

极限思想最让学生迷惑的是近似与相等的关系.很多学生在学完了极限定义之后一直认为是一个近似关系.我曾在不强调“相等”地按教材讲解该内容，讲解完后提问学生，百分之九十的学生回答 limn→∞1n+1=0指1n+1当n无限增大时近似于0.而事实是 limn→∞1n+1=0指当n无限增大时1n+1无限接近的数等于0.例如，刘徽“割圆术”中首先考虑圆内接正六边形（直边形）面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，考虑正多边形（直边形）面积近似代替圆（曲边形）面积时，边数越多近似效果越好，边数越多则正多边形面积愈來愈接近的就是圆的面积，即极限（无限接近）是圆的面积.一个“是”字体现了等.极限计算的是无限变化的结果是什么.明白将近似转化为相等的极限功能是极限思想的难点，教师强调清楚这一点是解决学生数学分析极限难题的关键.

（三）极限思想的具体步骤

极限思想的具体步骤：分割（定义域）→近似代替（在小范围用规则情况近似代替不规则情况）→求和（对整体进行近似代替）→取极限（分割无限小时的整体的趋势）.将定义域进行分割，极限思想和做法的四步骤贯穿了整个数学分析教材，每一次探讨极限思想的应用，不同的是研究的内容，相同的是极限的四个步骤，教师需要让学生明白做法是一样的，只是研究的函数发生了改变.在后续学习中不要一味讲解问题，而是引导学生依照前面的方法逐步探究得出后面的内容，这样就能真正把握和应用极限的思想.

（三）三大桥梁关系

数学分析中有三大桥梁，让学生掌握定理的同时，充分认识定理的桥梁特征对数学分析的问题解决有很好的帮助.①中值定理是搭建函数与导数的关系的桥梁，已知导数性质研究函数性质，或已知函数特性研究导数性质可考虑中值定理.②泰勒公式搭建起函数与级数的桥梁，将函数转化为级数，或将级数求和为函数.这样就可以通过级数研究函数或通过函数研究级数，让函数和级数的研究方法在函数与级数中灵活应用，从而解决很多函数研究中的难题.③牛顿-莱布尼兹公式建立了定积分与不定积分从定义上本不相关的两者之间的关系.不定积分是导数的逆运算，求全体原函数，而定积分是∑∞k=1f（ξk）Δxk在l（T）→0时的极限，两者是完全不同的定义，牛顿-莱布尼兹公式把两者结合在了一起，用原函数（不定积分）在两点的函数值之差来解决求定积分的复杂问题.

四、结束语

数学分析课程其实就是以极限思想概念和运算为基础的一个庞大的关系网，能深入探讨理解知识间的关系就能很好地把握和灵活应用该门课程，对于初学数学分析的大学入门生，在我校的二本和专科生中充分地体现出学生对这些知识网的把握程度是不理想的，所以在教学中不断强调知识间的这些关系是很必要的.通过教学实践，对以上关系的理解使学生大大降低了数学分析学习的难度.当然这里只介绍了几种大的知识关系，整个教材还涵盖着很多小的关系网，需要我们在具体教学过程中不断挖掘展现.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛任.数学分析讲义（上册）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]刘玉琏，傅沛任.数学分析讲义（下册）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.