数形结合思想在高中数学与物理教学中的应用研究
2018-05-15王海林
王海林
摘 要：随着新课改的不断推进，数形结合越来越受命题人的青睐，数形结合主要是考查高中生在数与形之间的相互转换。善于发现数与形的结合并不断提高解题的能力，进一步培养我们在学习过程中的分析问题，逻辑关系以及思维的能力。本文结合笔者对数形结合在高中数学与物理题目中的应用作了简要探讨。
关键词：数形结合 高考 高中数学 高中物理
中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2018）03-0070-02
1 数形结合的概念
数与形是数学中最原始理论，也是开展研究的基础，数与形在一定条件下可以相互转化。在数学和物理学中很多关系可以转换为图形，反之亦然，继而将抽象的文字转换为直观的图形，起到化难为易的作用，在考试或者平时练习的时候大大提高解题的速度，并可以用此来验证结果的正确性。在高中数学与物理解题过程中，数形结合在选择题、填空题，以及计算题中都会有所涉及。在数学结合的运用过程中，主要有三种解题思路：数的形化、形的数解和数形互变。
1.1 数的形化
数的形化即将抽象的数量问题，利用某种对应关系转化为直观的形的问题，将数量问题转化为图形之间的关系主要可以通过三个途径：充分利用所学的平面几何知识、立体几何知识及解析几何的知识，对数量关系进行分析和求解。
1.2 以形变数
当图形问题需要定量的结果时，或者图形关系较复杂时，可以将错综复杂的图形关系转化为代数关系，但是需注意观察图形的特征，找准关键点，已经图形的线与线，面与面之间等存在的几何关系，分析题干中的隐含条件和已知条件，确保由形向数转化的准确性。
1.3 数形互变
数形互变的实质就是数变形和形变数的有机结合，在解决一个问题中往往需要这两种方法同时使用，以确保结果的准确性，在运用过程中做到见形思数，见数变形。
2 数形结合的原则
数形结合思想的主要包括双向性、等价性和简单原则。所谓双向性原则的内涵是指在对几何图形进行分析的同时还要进行代数的分析，代数语言因具有较高的逻辑性和准确性，能为数形结合带来便利。所谓等价是指代数与图形之间的相互转换要遵循等价的原则。由于图形具有一定的局限性，加上在考试过程中时间的局限性和画图工具限制等原因，最终导致解题思路不准确，图形与代数之间存在差异，等价原则是数形结合的充分必要条件。在找到求解思路后是运用数的形化还是形的数化，或者是两种方法兼用，主要在于哪种方法能够简单有效的求解出结果。
3 数形结合思想的应用
3.1 数形结合在高中数学中的应用
数形结合在数学中的运用大致可分为：集合问题、方程不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、数列问题、绝对值问题、解析几何问题以及立体几何问题等。在高中学习阶段和以后的学习中尤其的重要。在运用数与形之间的对应关系中起主要将数量问题化为直观的图形问题。
设直线l1、l2分布是函数f（x）=-lnx，0
A（0，1） B（0，2） C（0，+∞） D（1，+∞）
解題思路：将数量关系转化为平面图像如下图所示
设P1（x1，lnx1），P2（x2，lnx2）（0 又因l1、l2相互垂直，所以x1x2=1， x2=。 则l1∶y=-（x-x1）-lnx1所以A，B的坐标分别为（0，1-lnx1），（0， -1-lnx1） l2∶y=x1（x-）+ln 故AB=2，联立l1、l2得xp= 得S△PAB=·AB·xp= 又因x+>2所以0 本题将抽象的数学语言，转换为具有强烈的形象性和直观性的图形，将题干中的代数信息逐一在图形坐标轴中表达出来，绘制出符合题意的图形，找出关键点，并用字母标识。本题中切线l1、l2，交点P等特点，在解题过程中，要善于提取题干中的有利信息，画出正确的图形，逐步求出正确的选项。本题的解题思路可归纳为以下几个方面： （1）通过阅读题干，提取出题目所要求的结果； （2）根据已给的条件，快速的搜索自己已经学到的基本公式或者某种图形，准确的画出图像； （3）结合图形与数量的关系快速并准确的求出最终答案。 3.2 数形结合在高中物理中的应用 数形结合在高中物理中具有及其广泛的运用，将物理知识与数学知识结合考查，是最近几年高考中常见题型，多数出在物理的压轴题。包括：平抛运动，天体运动等都涉及到数形结合的思想。 如图所示，平面内有竖直线DD'，过DD'且垂直于图面的平面将空间分成I、II两区域。区域I有方向竖直向上的匀强电场V和方向垂直图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域II有固定在水平面上h=2l、倾角α=的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离S=4l，区域II可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未画出）；C点在DD′上，距地面高H=3l。零时刻，质量为m、带电荷量为q的小球P在K点具有大小v0=、方向与水平面夹角的速度θ=，在区域I内做半径r=的匀速圆周运动，经C点水平进入区域II。某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响。已知，重力加速度为g。 本题中由于带电粒子在复合场中做匀速圆周运动，电场力与重力大小相等、方向相反，互相平衡，此题考查的知识点较多，将研究的对象和特征进行具体化，可通过数形结合的思想来处理，把带电粒子看成是一个质点。
由题可知：小球P在Ⅰ区内做匀速圆周运动，则小球P必定带正电，且所受电场力与重力大小相等。
设Ⅰ区磁感应强度大小为B，由洛伦兹力提供向心力得：
qv0B=m B=
代入数据得： B=
小球p在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C点的时刻为tc，到达斜面底端时刻为t1，有tc=、
s-hcotα=v0（t1-tc），小球A释放后沿斜面运动的加速度为αA，与小球p在时刻t1相遇于斜面底端，有mgsinα=mαA。
联立方程组得 =αA（t1-tA）2
tA=（3-2）
设所求电场方向向下，在tA′时刻释放小球A，小球P在区域II运动加速度为ap，有
s=v0（t-tc）+αA（t-tA′）2cosα
mg+qE=map
H-h+αA（t-tA′）2sinα=ap（t-tc）2
联立方程求解得 E=
对小球P的所有运动情形讨论可得3≤β≤5
由此可得场强极小值为Emin=0；场强极大值为Emax=，方向竖直向上。
本题首先将题干的代数信息和自己学到的物理学公式作出恰当的图形，根据力的平衡，其实求得力与速度的关系，根据小球在区域内的动能守恒定义求出场强的大小。在求解过程充分利用质点的运动变化规律对物理模型进行分析求解，利用图形的直观性来观察小球的运动规律，利用数形结让解题的思路十分清晰与巧妙，完美的展示了数与形，形与数的完美结合。
4 结语
从上面的例子可以看出，数形结合无论是在高中还是即将步入的大学生涯都有穿插，数形结合使抽象的问题具体化，在解决数形问题时，抓住数与形两者之间的关联性，使我们养成良好的数形思维、将动态思维与静态思维相结合的习惯，将繁琐的代数关系转化为直观的图形关系，将复杂的函数关系直观化。进而提高解题速度和考试成绩。
数学与物理学都源于生活，我们学习的知识和技能的最终目的都是为了解决生活生产中存在的问题。我们在高中的学习不仅要完成老师布置的作文，更重要的是培养解决实际问题的技能，将抽象的物理或数学模型化为直观的图形问题，然后分析问题、提出方案，最终运用数学方法解决问题，让我们在学习和解题的过程中直接经验和间接经验结合，提高了在复杂场景中发现问题、解决问题的能力。
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