数学归纳法在高中数学解题中的妙用

孙美玲

[摘 要] 数学归纳法是一种非常有用的数学方法，它不但对民族地区高中数学的学习有着很大的帮助，而且在今后大学数学课程中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的媒介，主要从几何、数列、证明不等式、证明整除等几个方面来印证数学归纳法在高中数学中的地位，目的是通过运用数学归纳法来解题，从而培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等能力。

[关 键 词] 高中数学；数学归纳法；问题分析

[中图分类号] G632 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）05-0124-01

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种证明方法，它是以皮亚诺公理自然数公理中的归纳公理为大前提、以证明过程中的（1）（2）为小前提的三段论形式的演绎法。合理地运用数学归纳法解决问题是高中数学教学中不可缺少的一个重要内容。

一、妙用数学归纳法解几何问题

细细体会数学归纳法证明几何问题的关键：由“n=k时命题成立”，到“n=k+1时命题成立”。这句话可理解为由k个几何元素又增加了一个元素到k+1个，要找出增加的元素与原来的k个几何元素彼此间的关系及其引起的几何元素的变化，最终找到f（k+1）与f（k）的关系。

例1：平面上有n条直线，其没有两条平行，也没有三条直线交于一点，求证这n条直线共有pn=■n（n-1）个交点。

证明：（1）易知当n=2，p2=1，命题成立；

（2）假设当n=k（k>2）时，命题成立。即k条直线有pk=■k（k-1）个交点。当n=k+1时，增加了一条直线，由于没有两条直线平行，也没有三条直线相交于一点，所以新增加的直线与原来k条直线各有一个交点，就是比n=k条直线时增加了k个交点，即

pk+1=pk+k（即f（k+1）=f（k）+k）=■k（k-1）+k

=■k[（k-1）+2]=■k（k+1）[（k+1）-1]

所以当n=k+1时，命题也成立。

由（1）和（2）知，对任意自然数n命题都成立。

二、巧用数学归纳法解数列问题

大家都很熟悉，数列是一种特殊的函数，它与自然数有着直接的关系，所以，在证明数列问题中自然也会想到用数学归纳法对其进行证明。

例2：已知数列{an}的通项公式an=■，数列{bn}的通项满足bn=（1-a1）（1-a2）…（1-an）。用数学归纳法证明：bn=■。

证明：（1）当n=1时，b1=（1-a1）=（1-4）=-3=■=-3成立；

（2）假设bk=■，则bk+1=■（1-ak+1）=■1-■=■=■。

即n=k+1时命题成立。

由（1）和（2）知，对任意自然数n命题都成立。

三、爱用数学归纳法证明不等式问题

与自然数有关的不等式，我们也可以运用数学归纳法对其进行证明。值得注意的是用数学归纳法证明不等式，在假设f（k）成立到f（k+1）时，为了利用归纳假设，在变形中常会用替换法放缩不等式。

例3：用数学归纳法证明：

1+■+■+…+■<2-■（n≥2）

证明：（1）当n=2时，1+■=■<2-■=■，命题成立。

（2）假设当n=k时命题成立，即1+■+■+…+■<2-■

当n=k+1时，1+■+■+…+■+■<2-■+■<2-■+■=2-■+■-■=2-■，命题成立。

由（1）和（2）知，原不等式在n≥2时均成立。

四、活用数学归纳法证明整除问题

在整除性问题，因其与自然数也密不可分，所以我们也常用数学归纳法对其进行证明。在假设f（k）成立到f（k+1）时，一般的“变形”是将f（k+1）变化表示为f（k+1）=g（k）f（k）+h（k）的形式（必须变为这种形式，才能利用归纳假设），由归纳假设知g（k）f（k）能被整除，关键是h（k）也要能被整除即可。

例4：用数学归纳法证明：对于所有的正整数n，8n-1都能被7整除。

证明：（1）当n=1时，7能被7整除，原命题成立。

（2）假设当n=k时，原命题也成立，即8k-1=7t（t为整数），当n=k+1时，8k+1-1=8k+1-8+7=8（8k-1）+7，8（8k-1）+7=56t+7，显然8n-1也能被7整除。

由（1）和（2）知，对任意自然数n命题都成立。

总之，数学归纳法在高中教学过程中的运用非常广泛，可以说凡是与自然数有关的结论都可以用它来证明。但是用数学归纳法在证明数学题的过程中，学生往往会遇到很多问题，比如式子的变形、放缩等都使学生无从下手，基于此，在高中数学教学过程中，教师应当给予学生耐心的指导，教其会用观察—猜测—论证的方法来分析问题、解决问题，并且在学生对数学归纳法有了一定认识的基础上，再给学生上一堂数学归纳法错误分析课，这样会使学生能够更加深刻地理解数学归纳法，进而更好地掌握它并能很好地把它运用到数学解题过程中。数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维推理能力和解决综合性问题的能力。另外，它也是初等数学与高等数学衔接的一条纽带，是初等数学中不可或缺的一部分。

参考文献：

[1]蒋文蔚.数学归纳法[M].北京：北京师范大学出版社，1985-06：122-124.

[2]孙德菊.累计数学歸纳法[J].数学通报，2001（5）.