解析法解决几何问题的研究

王淳

摘 要：在数学中，几何问题是多种多样的。解决几何问题有很多种方法，其中解析法是借助坐标系，再运用代数知识来解决几何图形的一种方法。运用解析法就可以将几何问题代数化，图形性质坐标化，使问题由难变简。本文在概述了解析法涵义的基础上，通过具体的实例分析了解析法如何进行几何问题的解答，以期深化解析法在几何中的应用。

关键词：解析法 ；几何问题

一、解析法

解析法指的是将几何问题通过坐标系转化成代数运算的一种方法。具体来说，解析法就是在平面上建立坐标系，把已知点轨迹的几何条件转化成相对应的代数方程，之后运用代数的运算进行几何问题的解答，最后再将代数方程的性质用几何语言来表达求出最终的答案。

二、解析法与几何问题

在数学中，我们会遇到形式各样的几何问题，而解析法把几何问题变成了相对应的代数问题，再把代数问题归结到方程式的解答，将问题由难变简。因此，解析法在解决几何问题上发挥着不可忽视的作用。接下来，我们通过具体的实例，主要从平面几何、解析几何和立体几何这三个方面分析解析法与几何之间的联系。

（一）解析法与平面几何

平面几何中的很多问题都要从平面几何中的定理、公理出发，再运用推理证明其真实性。甚至有的解题过程是多种定理、公理的结合，相对较难。而运用解析法，根据题设条件建立适合的坐标系就可以使论证变得简单。

1.证明线段相等

例1：已知AB是半圆上的直径，CA、CD是切线，A、D是切点，而且DE AB，CB交DE于H点，求证DH=HE。

根据题设条件，以AB为x轴，以圆心为y轴建立坐标系，设A（-a，0），B（a，0），D（m，n），那么CD的直线方程是mx+ny=a2，CA的直线方程是x=-a，两个方程结合得到x=-a，y= ，那么C（-a， ）。又因为CB： = ，DE：x=m，求得x=m，y= n，所以H（m， n），即DH=HE。

2.证明线段垂直

例2：已知在△ABC中，AB=AC，高AD、BE交于H，作EF BC，F是垂足，延长AD至G，使DG=EF，令AH的中点是S，求证BS BG。

以BC为x轴，以AD为y轴建立坐标系，设A（0，m），B（-n，0），c（n，0），那么AC的斜率KAC= =- ，BE的斜率KBE= ，AC的方程就是y=- （x-n），BE的方程就是y= （x+n），這两个方程相结合得到x= ，y= ，所以E（ ， ）。又因DG=EF，那么G（0，- ）。由BE的方程y= （x+n），当x=0时，y= ，所以H（0， ）。由中点坐标公式得出S的坐标是（0， ）。又因为KSB= = ，KBG= =- ，所以KSB？KBG=-1，即BS BG。

（二）解析法与解析几何

解析几何是建立在平面几何和坐标系基础上，用坐标系中的点、线的坐标化来简化问题的一门几何分支，又称作坐标几何。因此，运用解析法解决解析几何是最简单的方法。其中，根据形成曲线的基本条件，在适当的坐标系下求出曲线的方程，是解析几何的基本问题。基本步骤是：首先是根据题设条件分析动点满足的几何性质；其次是根据圆锥曲线的性质或者是各种曲线的性质，写出轨迹方程；最后是利用轨迹方程说明图形的具体形状和所在的位置。

例3：已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆2x2+3y2=12的左、右焦点，而且sin = cos ，求顶点C的轨迹方程。

根据椭圆2x2+3y2=12的左、右焦点分别是A、B得出A（- ，0），B（ ，0），那么 =2 。又有sin = cos ，得到sin = sin ，即2（sinA-sinB）=sin（A+B）=sinC。由正弦定理得到2（ - ）= =2 。再由双曲线的定义，我们知道△ABC的顶点C的轨迹是以原点为中心，a= ，c= 的双曲线的右支。又因为b2=c2-a2= ，所以顶点C的轨迹方程是2x2- y2=1。

（三）解析法与立体几何

立体几何是在三维空间中研究图形、物体的性质。在解决一些立体几何问题时，如果只是使用立体几何的知识，运算量不仅大，而且运算过程比较复杂。但是如果运用解析法与之相结合，就能够使解法简洁易懂。

例4：已知△ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，若AB1 BC1，求以BC1为棱的BDC1与CBC1为面的二面角 的度数。

如图1所示，作AE BC于E，连接B1E交BC1于F。由三垂线的逆定理知道B1E BC1。再作DG BC于G，GH BC1于H，连接DH，那么∠DHG就是角 的平面角。设BC=m，那么DG= m，解题的关键就在于求GH的长。如图2所示，建立直角坐标系，设B（x，0），那么C1（0，m），E（x， ）。因为B1E BC1，所以KBC1？KBE1=-1，即（- ）（ ）=-1，那么x= m，所以G（ m， m）。因为直线BC1的方程是 + =1，所以 x+y？m=0，因此，GH= = m=DG，所以以BC1为棱的BDC1与CBC1为面的二面角 的度数是45°。

三、总结

通过例子我们可以看出，运用解析法解题往往需要通过坐标系写出几何关系的表达式，再进行计算。解析法不仅可以将几何问题变成代数的方法来解决，还可以把变量、数和形等紧密结合起来。虽然解析法在计算方面是繁琐的，但能够帮助较快地找到解题的途径。因此，灵活运用解析法，不但有助于解决平面几何的问题，而且有助于解决解析几何和立体几何中的难题，有效提高我们的解题效率。

参考文献

[1]王朝兴，用解析法巧证平面几何题[J]，中学数学研究2001（7）：17-19.

[2]余献虎、邵婉，解析法—解决数形结合型几何问题的有效[J]，中学教研（数学）2015（10）：37-40.