例谈数学中的二项式定理在生物遗传问题中的应用

周来友

(河北省唐山市丰润区任各庄镇中学 064012)

一、推测自交后代群体的基因型结构和概率

例1 已知两对等位基因均为完全显性，基因型为AaBb的个体自交，说出后代F1中个体的基因结构.

由二项式定理展开式可得：

通过上式可以看出，上一代的基因遗传给下一代以后，基因结合的概率和基因结构分别为：

例2 试问杂种AaBbCc的F2群体中，包含4个显性基因与2个隐性基因的基因型个体出现的概率是多少？

评注解决此类问题时，注意：不论相对性状有几个，显性基因出现的概率总是p=1/2，隐性基因出现的概率总是q=1/2，n=杂种基因的个数.若r为隐性基因出现的个数，则n-r为显性基因出现的个数.另外，利用二项式定理展开式也可以解答本题，只需注意“项”的次数r和n-r即可.

二、推测自交后代群体的表现型分布和概率

例3 基因型为AaBb个体自交产生F2，说出F2中个体的表现型情况和比例.

由二项式定理展开式可得：

到此不难得出：各种(4种)表现型A_B_型、A_bb型、aaB_型、aabb型的比例为9∶3∶3∶1.

评注如果对例1和例3做进一步的研究，不难得到这样的结论：若某生物体含有n对等位基因(独立遗传情况下)，则自交后代基因型有3n种(注意后代个数≥3n个)，表现型种类在完全显性的情况下有2n种.

例4 基因型为AaBbCc个体自交产生F2，说出F2的表现型情况和比例.

由二项式定理展开式可得：

到此不难得出：各种(8种)表现型A_B_C_型，A_B_cc型、A_bbC_型、aaB_C_型，A_bbcc型、aaB_cc型、aabbC_型、aabbcc型的比例是27∶9∶9∶9∶3∶3∶3∶1.

三、推测杂交后代群体的表现型分布和概率

例5 基因型为AA和Aa的个体杂交后，产生后代F1.在个体F1中，有3个个体基因是Aa，有2个个体基因是AA的概率是多少？

评注利用二项式定理展开式也可以解答本题，只需按照p降幂排列、q升幂排列，找到包含p3q2的项进行计算和说明即可.一般来说，当展开式比较长，涉及到的项比较多，为简单起见，使用通项公式求单项概率.

四、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率

例6 以含两对基因的杂合体AaBb测交为例，分析其自交后代的性状表现.

由二项式定理展开式可得：

参考文献：

[1]朱永江.二项式定理在高中生物遗传题中的应用[J].理科考试研究(高中版),2015,22(4):85-85.

[2]蔡秀清,刘进平,庄南生.二项式定理在遗传学问题中的应用[J].热带农业工程,2016(1):34-35.

[3]尚显亮.数学中的二项式定理在生物习题解答中的应用[J].中学生物教学,2002(11):18-18.