巧用类比?构建精彩

王文玲

【摘要】所谓类比，就是由两个对象的某些相同或类似的性质，推断出它们在其它性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比法是中学数学教学中重要的方法之一，像许多概念、定理、公式、法则等都是通过类比得到的。从学生原有的知识经验中生长新的知识经验的过程实际上就是学生自主建构知识的过程。在《反比例函数（1）》一课的教学中，类比正比例函数与一次函数的概念，交流归纳反比例函数的概念，激活学生已有的学习经验及方法去类比新的知识，从而高效的学习，让学习真正的发生。

【关键词】类比；概念教学；课例研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）34-0270-02

建构主义教学论认为：“应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的只是经验中，生长新的知识经验。”初中数学是有前后相互联系的整体结构，知识点连接比较紧密且呈螺旋上升。教师可以引导学生在旧知识的基础上，进行类比学习，进而达到化难为易、事半功倍的效果。天文学家开普勒说：我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它揭示自然界的秘密，在数学中是不可忽视的。可见类比在数学教学中的重视，大部分数学教师在教学中，这种思想方法并没有引起足够的重视，大部分数学教师在教学中也只是形式上的类比，简单一笔带过，教学中将每一个知识点之间都割裂独立上，其结果学生在初中阶段没有形成类比学习的能力，对高中的学习产生不利的影响。浙江教育出版社八年级下册第六章《反比例函数（1）》通过体验现实生活中的实际问题激发学生对数学的兴趣与愿望，启发学生将新函数与一次函数进行类比，使学生能轻松的得出新知。现将教材分析、教学过程、教学评价及教学思考与收获呈现于大家，期待各位同仁的斧正。

一、教材分析

《反比例函数》是第6章反比例函数的第一节，是学好这一章的基础，所以新知的建立与理解非常重要。从知识体系看，它是初中阶段三大函数之一，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，本章内容的学习为以后更高层次函数的学习，以及函数、方程、不等式间的关系处理奠定了基础，在数学学习中起着承上启下的桥梁作用；从数学思想方法上看，本章蕴含类比、建模、转化、方程等数学思想方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都十分有益；从学生的角度看，本节课比较抽象，学生理解起来比较困难。因此，在学习反比例函数概念的过程中，启发学生将新函数与正比例函数、一次函数进行类比学习，所以学习本节课的关键是处理新旧知识的联系，尽可能的减少学生接受新知识的困难。这一节的重点是反比例函数的概念，教学的难点是理解反比例函数的概念，例题中涉及《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定难度。根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节的教学目标是：1、从现实情境和已知经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。会求简单实际问题中的反比例函数解析式；2、进一步提高探究问题，归纳问题的能力，能运用函数思想方法解决有关问题；3、通过已有知识经验探索过程，体验数学研究和发现过程，逐步培养学生在教学活动中主动探索的意识和合作交流的习惯，逐步增强用函数观点思考的能力。

二、教学过程

（一）创设情境，梳理知识

原书中是探究北京到杭州火车的行驶时间和平均速度之间的关系以及质量是100g的金、铜、铁、铝四种金属的体积與密度之间的关系，这样得到反比例函数概念难度较大。考虑到学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对函数相关的概念不可避免会有所遗忘或者生疏，所以以“菜市场买菜”这样一个生活中的场景先回顾了正比例函数、一次函数以及函数的概念，在第三个问题中得到一个新的关系式，激发了学生的学习兴趣。

【课堂实录】

师：同学们在课余时间都去过菜市场吗？在菜市场中也存在着许多数学问题呢，你们有思考过吗？

在借助多媒体来播放菜市场的场面，并抛出第一个问题：

师：请问妈妈买2.6元/斤的番茄，买了w斤，那么所花费的钱x可以用什么来表示呢？

生1：x=2.6w。

师：非常好，那么有同学记得这是我们学过的什么方面的知识呢？

生2：正比例函数.

师：Good！那谁知道它的一般形式呢？

生3：y=kx。

师生交流后，教师板书正比例函数一般形式y=kx（k为常数且k≠0）

师：第二个问题：买了多样果蔬花了36元，现在还想买8元/斤的猪肉y斤，请问花费钱的总数z应该怎么表示呢？

生4：z=36+8y。

师：不错，那么有谁记得这是我们学过的什么方面的知识呢？

生5：一次函数，y=kx+b。

师生在此交流之后教师板书一次函数y=kx+b（k b为常数且k≠0）

师：那我们是如何学习一次函数，学习哪些知识点呢？

生：概念、图像、性质、应用

教师板书：概念、图像、性质、应用

然后再用体验式教学，教师在课堂中对学生提出难度稍高的第三个问题：

师：现在买菜结束了，要回家了，倘若菜市场离家的距离为1000米，到家所用的时间为t，平均速度为v，那你能得出什么样的关系式呢？

生6：vt=1000

师：非常好，有没有同学有别的答案？

生7：

生8：

师：大家回答的都非常好，那么请问同学们，这个关系式是函数吗？这与我们之前所学的关系式形式一样吗？这就是本节课我们要揭开的奥秘。

此环节通过师生互动，梳理了之前所学的一次函数和正比例函数的概念，又对新的关系式与之前所学的关系式进行了简单的对比，为接下来通过类比的方法得出新知埋下伏笔。

（二）问题讲解，传授新知

创设情景时，比较贴近生活，学生能感受到生活中也处处存在上述关系式，使得反比例函数不再是抽象的数学书上的内容，但是纯粹一个关系式不能概括出反比例函数的概念。书上的第一个探究与上面问题类似，故只选用第二个问题进行讲解，这样的处理既方便计算，又可以让学生快速总结出v与p的数量关系。

【课堂实录】

探究：测量质量都是都是100g的金、铜、铁、铝四种金属块的体积v（cm?）的结果，ρ（g/cm?）表示金属块的密度.已知锌的密度是7.14g/cm?，金的密度是19.30g/cm?。

师：那么ρ与v有什么关系呢？

生9：

师：上述两个函数都具有的形式，一般地形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，x为自变量，k叫做反比例函数的比例系数。但是看x所在位置是分母，所以反比例函数的自变量x的值不能为零。（板书，k为常数且k≠0，x≠0）

此环节构建互动、和谐的课堂教学氛围，使学生对反比例函数概念完成从感性体验到理性认识的过渡，类比一次函数和正比例函数的概念，让学生探索反比例函数的概念。学生在体验探究的过程中，感受知识的形成过程，从而为知识的内化和正迁移创造了条件。但对于自变量x不能取0的说法是教师直接告知，而非学生从探究过程中发现，教师对于这一环节的处理欠妥，希望下次教学是可以改进。

（三）有效检测，巩固技能

通过式子的变形，让学生抽象出反比例函数的一般形式，引导学生类比正比例函数的定义方法，得出反比例函数的概念。接下来PPT展示辨一辨中8个小题，这部分是对新知的运用，教师不应该节奏过快。

下列函数中哪些是关于x与y的反比例函数，并指出相应k的值？

（1）y=3x-1（2）（3）（4）

（5）（6）xy=3（7）（8）（s为常数，s≠0）

此环节在学生充分理解概念的前提下，教师和学生一起做习题，但对于习题的先后顺序颇有争议，对于第（3）题部分教师认为较难，应该放在后面，部分教师认为这是一般形式，学生应该可以接受。而对于xy=3和的设计大家都比较赞同，交流归纳出反比例函数的另外两种形式，学生自主交流之后，师生一起归纳。

（四）拓展探究，实践体验

教材中的例题是物理学中的杠杆原理，通过此例让学生感受用数学模式的变化来理解物理性质，是学生运用数学知识的能力上有一个提高。利用阿基米德的“撬动地球”的历史故事，结合了学生的心理发展特点，很好的激发了学生对问题探究的兴趣，于其让学生“苦学”，不如让学生“乐学”。创设一种欲罢不能的心理氛围，从而使学生形成了问题探究的动机.进一步培养学生分析问题、解决问题的数学建模能力.

【课堂实录】

例1、如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为y（N），动力臂为x（cm）

（1）求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，请说出比例系数；

生14：xy=5000，比例系数为5000

师：好，但是现在要求是y关于x的函数表达式该怎么写合适呢？

生14：

（2）求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；

生15：x=50時，y=100，实际意义是当x=50时，y=100。

师：这个实际意义欠缺，应该回答50表示什么，100表示什么？

生15：当动力臂长为50cm时，所需动力为100N。

（3）当x从50变化到500时，y的值如何变化？

生16：y从100变化到10。

师：x从50到500扩大了10倍，那么y呢？

生16：缩小了10倍。

师：应该说缩小到原来的。

（4）利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n（n>1）倍时，所需动力将怎样变化？

生17：当动力臂扩大到原来的n倍，所需动力将缩小到原来的。

师生：当动力臂扩大到原来的n倍，所需动力将缩小到原来的，所以当动力臂无限扩大，那么动力就无限缩小。

此环节借助多媒体的教学辅助作用，使问题的出示显得活泼、直观，增强了问题的趣味性，从而更好的促使学生对问题的体验、探究。

三、专家点评

本节课教师对教学内容与目标进行深刻研究，反比例函数一课是建立在学生已经学习一次函数和正比例函数相关问题的基础上，让学生先回顾了一次函数和正比例函数的基本形式以及函数的概念，通过贴近生活的例子的体验式教学引出一个新的关系式，通过类比所学的函数，通过设疑不仅激发学生学习数学的兴趣，还激起学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了条件并激发了积极的情感态度。再通过探究活动，师生互动，继续体验生活中经常会出现的函数问题，从而交流归纳出这个新函数的基本形式或者xy=k（k为常数且k≠0、x≠0）引出反比例函数的概念。本节课的教法设计能很好的结合学生心理发展的特点和规律。结合学生的认知水平和经验，结合学生发展的能力要求真正确立“以人为本”的教学理念。学生的学习兴趣低是我国初中数学教学中最大的难点，大部分学生认为数学不仅是一门枯燥的学科，而且还是一门抽象的、难度较高的学科，因此不少学生将学习数学看作一种任务，还有一部分学生在大量的题海中对数学产生了抵抗现象。这种现象造成很大原因归根于我们的教师的教学方式。例如：学习反比例函数时，大部分教师先是讲解反比例函数的概念，然后讲解简单的例题，再让学生自己完成题目，这是最原始的教学方案，然而这种教学方式，只有少部分学生能完全掌握知识点，对于大部分学生来说，函数本身是一个抽象的公式，这种普通的讲课方式，并不能让学生完全理解讲课内容。因此想要促进初中数学的教学水平，引发学生的学习兴趣是关键，那就要求数学贴近生活，而如何帮助学生知识的迁移也是教师教学中需要做的，激活学生已有的经验，研究方法，促进学生持续、高效的学习。

四、教学思考——立意深远

笔者认为，在深意上，教师若能在培养学生运用类比法发现问题、提出问题、总结归纳能力，有助于学生数学素养的形成。

课后本备课组成员展开深层次分析，这节课是利用“先行组织者”，引导学生展开“类比——探究”的教学设计思路，其用意是要让学生体会函数研究的基本过程，通过类比，先让学生对本节的研究内容有一个整体认识，在后续研究中能够“见木见林”给学生提供基本思想方法，立意是使学生明确数学中研究问题的“基本套路”，这种类比思想方法，在学完“三角形”后学习“四边形”也存有借鉴，可以将三角形一章作为新的内容的“先行组织者”其作用是：搭建研究框架，引导思维方向，对培养学生的创新精神和实践能力有积极意义。为了让学生充分感悟由“一次函数”知识类比学习“反比例函数”知识，这节课需要对“一次函数”知识进行回顾，再由学生充分的自主学习研究获得新知——反比例函数。这样学生接受起来很轻松。这正如《义务教育数学课程标准（2011版）》中所提出的那样：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”

对比的结果显而易见的告诉我们：前一种教学仅仅是教师教学生知识，是授之以鱼；后一种教学是真正意义上的学习，是教师授之以渔的方法。前者是量的积累，后者是质的提高。当学生从思维上，方法上有一定的积淀，研究习惯一旦形成，他们不但可以轻松掌握知识，关键是获得研究数学问题的基本套路，这才是真正的能力，才是学习之后应该留下来的东西，教会学生类比学习的方法尤为重要。

参考文献

[1]陆志强：《激活经验 变构学程》中国数学教育 初中版2017年7-8月.

[2]周立志：《开放设问 变式探究 积累经验》（教学研究）中学版2017年第六期.

[3]李杰：《初中数学课例研究与典型课评析》福建教育出版社2016年3月.