圆锥曲线中向量数量积定值问题解题策略的比较研究

崔艳

【摘要】圆锥曲线中的定值问题是高考中的热门问题，本次研究通过例析的方式探讨圆锥曲线中向量数量积定值问题的解决策略，希望从不同的思维途径及解决路径中找到解决此类问题的突破口，继而让学生掌握良好的分析及解决问题的能力。

【关键词】圆锥曲线；向量数量积；定值

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）34-0269-01

圆锥曲线在高考当中是压轴题。在诸多圆锥曲线问题中，有一类定值问题是经常考察的题目，从根本上看，定值问题是一种综合性问题，包括函数与方程、平面向量等；在形式上往往表现为向量的数量积或直线斜率不受变量影响等。为解决以上问题，文中引入了两种策略：直线与椭圆联立方程组与特值引人，由于解题路径不同，一般思维及解题也不一样，为此，有必要分析这两种解题策略。

一、两种解题策具体应用分析

已知椭圆上三个不同点A、B、C，其中A点坐标为（），B点坐标为（-3，-3），C点处在第三象限，线段BC中点位于直线OA上。问题1，求解椭圆标准方程？问题2求解C点坐标？问题3如果P为椭圆上一动点，与点A、B、C不同，同时线段PB与PC各自和直线OA相交在M点和N点，验证为定值。

从一二步计算中得到椭圆方程，C点坐标为（-5，-1）。

第一种求解方法：直线椭圆联立方程组，需要注意一点：消去其中一个变量，联立之前把x用y表示，然后把x消去，或者也可以把x1+x2，x1x2代入直线方程，便可以得到答案，如x1加x2怎么带入直线方程，对是不是x一加x2合y一加y2这两个点也在直线上，如直线方程为y=x+1，x1+x2=2，x1x2=1；那么y1=x1+1，y2=x2+1；y1+y2=x1+1+x2+1=（x1+x2）+2=4；y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=4；在这条直线上的是（x1，y1）和（x2，y2），通过此种方法对坐标M与坐标N进行求解[1]。

对题目进行分析，为验证为定值，只需验证它的坐标和参数没有关系。所以，通过P点坐标来表达，证明此表达式和建设的P点坐标没有关系便可。建设P（m，n），为此，m2+2n2=27，

经过求解得出PB：y+3=（x+3），PC：y+1=（x+5），经过求解。

第二种求解方法：特值引入，通过特殊求解一般如有椭圆的一般方程AX2+BXY+CY2+DX+EY+1=0向椭圆标准方程参数的特殊求解可获得椭圆几何中心Xc=（BE-2CD）/（4AD–B2），Yc=（BD–2AE）/（4AD–B2）。短半轴b2=2（AXc2+CYc2+BXcYc-1）/（A+C-（（A-C）2+B2）1/2），长半轴a2=2（AXc2+CYc2+BXcYc-1）/（A+C+（（A-C）2+B2）1/2），长轴倾角：θ=1/2arctan（B/（A-C）），这其中就应用了特值引入的思想[2]。

分析：数学不单是理性思维的结果，同时也需要感性的一方面，因题制宜于各题目中选取不一样的方法，这是短时间提高数学解题速度一种不可缺少的思维。所以，在选择题或填空题条件下，需要对定值进行求解时，无需按照以上理性分析来求解，通过特殊方式来求解一般方式，将P点作为特殊点，进行求解讲定P点坐标为（-3，3），能够得到PB的直线方程及斜率x=-3，kPC=2，如此，得出直线PC的方程是y=2x+9。經一系列求解得到。

二、基于教师及学生角度的比较分析

在教师看来，这需要从下述三个层面进行思考：怎样设计课堂教学，让学生容易听懂；其次，教学中采用何种教学策略让课堂容量更丰富。

首先，教学设计和思维流程性有一定关系，从这点看，明显策略更容易教师开展教学设计，教师只需要遵照下述顺序进行指导便可：从题目中中线及线的位置能够得到什么？（M，N的坐标）；得到上述两点坐标后，会用这两个坐标做什么？（写向量数量积）；向量数量积的表达如何获得题目结论？（化简表达式表明结果与设置的参数没有关系）。很明显，将第二种策略用作教学内容，教学设计比较准确，由于学生在这方面出现了思维上的盲区，所以，教学设计的首要任务是打通他们的思维盲点，使学生向量共线定理与题目进行关联，接着开展相关教学设计，比较以上两种教学策略，特殊法的教学设计更为简单，重点在特殊点的选取，这是教师需要关注的内容。

其次，课堂推演和运算有很大关系，分析上述运算维度，可以获知，策略1具有非常大的运算量，课堂推演趋于复杂，消耗了较多时间，从提高学生运算能力及应试教育视角来看，策略1更容易让学生掌握。

但从学生看来，首先是将问题分析出来，然后归纳为思维推进，然后是如何计算，归纳成预算推进。从思维推进的顺序性上，第二种策略比较合适，受适用情境限制，在解题当中不适合使用。从运算的量方面看，特值法的计算量是最小，普遍性不足，不可作为理论分析依据。

三、结束语

向量备受高考出题人的青睐，将它和圆锥曲线的一些知识联系进行命题，着重考察学生分析及解决问题的能力，在这些年的高考试卷中均有出现，所以，教学需要加强训练这部分知识，使学生于知识交汇处提高能力，丰富知识，满足新课程改革需求[3]。在本次研究中，以上各策略在解决具体问题时均有优势，策略1容易思考，而存在运算量不足的缺陷，策略2不断具有思维优势，还有运算优势，但受运用情境的影响。

参考文献

[1]熊德忠.多法破解圆锥曲线中向量数量积的最值问题[J].语数外学习（数学教育），2013，（2）：65.

[2]刘少卿.圆锥曲线中向量数量积定值问题解题策略的比较研究[J].数学教学通讯，2015（30）：50-51.

[3]刘瑞美.圆锥曲线中关于向量数量积的几个性质[J].中学数学杂志，2010（7）：38-40.