例析三角函数的周期、最值和值域问题

■张志勇

三角函数是高中数学的重要内容之一,是历年高考的必考知识点,其中三角函数的周期、最值和值域是高考的必考内容。解决这类问题,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像及三角函数的恒等变形,而且还会涉及函数、不等式、方程等知识。下面主要讨论三角函数的周期、最值和值域问题,希望能引起大家的重视。

一、求解三角函数的周期问题

三角函数的周期是三角函数的重要性质,求三角函数的周期,一般是先化目标函数为一种函数的形式,再借助常见三角函数的周期来求解。

例1 函数f(x)=5-4sin2x+4sin4x的最小正周期是____。

解:通过诱导公式将原函数化简。

二、求解三角函数的最值问题

求三角函数最值的主要途径:一是利用三角函数的有界性;二是利用二次函数的单调性等。

例2 求函数y=(sin2x+1)(cos2x+3)的最大值。

解:可转化为二次函数求最大值。

令sin2x=t,则0≤t≤1,cos2x=1-t。所以原函数可等价转化为y=(t+1)(1-t+

因为0≤t≤1,所以当t=1即sin2x=1时,

三、求解三角函数的值域问题

求三角函数的值域的常用方法有配方法、基本不等式法、判别式法、图像法等。

例3 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)为正值的x的集合。

解:先利用诱导公式将原函数化简,再求解。

解:对无理式函数求值域,不能利用其单调性进行判断,可考虑用三角换元法去根号求解。