三角函数快乐导学

■王佩其

现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期性,三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型。下面就让我们一起来领略三角函数的魅力吧!

知识点1:同角三角函数的关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系主要有:sin2α+cos2α=1(平方关系),=tanα(商关系,其中α≠kπ+,k∈Z)。诱导公式的变换规律可概括为“奇变偶不变,符号看象限”。同角三角函数的关系与诱导公式主要应用于三角函数的求值、化简、证明和三角恒等变换。

评注:化简三角函数式的一般要求:项数最少,函数的种类尽可能少;次数尽量低,尽可能使分母或根号内不含三角函数;能求值的求出其值。

知识点2:三角函数的图像与性质

正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分别称为正弦线、余弦线和正切线。通过三角函数的图像,很容易得到其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性。利用这些性质,可以求与三角函数有关的复合函数的周期、单调性、值域和最值等。利用单调性,还能比较函数值的大小。

评注:形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω＞0)的最小正周期T=,它们的单调区间可利用基本函数y=sinx(x∈R)和y=cosx(x∈R)对应的单调区间列不等式求解得到。

知识点3:三角函数图像的平移变换与伸缩变换

由y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像的两种方法是先平移后伸缩和先伸缩后平移。根据三角函数的图像,也可求出三角函数的解析式,求解析式的一般方法是待定系数法,即利用图像上已知点的坐标,求出A,ω,φ,b,进而得出三角函数的解析式。

评注:求解函数y=Asin(ωx+φ)的实际应用问题时,要充分利用三角函数的基本性质,还要特别注意整体代换思想的运用。

知识点4:三角函数模型的简单应用

数学模型就是先把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题,从而得出关于实际问题的数学描述。

建立数学模型解决实际问题的一般步骤:①审题:认真阅读题意,审清题目条件,理解数量关系。②建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型。③求解:对所建立的数学模型进行分析研究,得到数学结论。④还原:把数学结论还原为对实际问题的解答。

例 4 如图1所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0),x∈[0,4]的图像,且图像的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP。为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°。求A,ω的值及M,P两点间的距离。

图1

评注:本题属于实际问题中的三角函数模型,在分析、整理已知信息的基础上,用待定系数法求出函数的解析式。解题过程中,一方面要注意利用周期性及题中的条件,另一方面还要注意所求问题的实际意义。