基于蒙特卡洛法的水力破拆机械臂工作空间分析*

彭见辉，赵天婵，殷素峰，刘文洁

0 引言

机械臂工作空间是指机械臂末端执行器上坐标系在参考坐标系中所到达的空间点的集合[1]，其大小不仅表示末端执行器的活动范围，更是体现机械臂工作能力的主要参数[2]。针对工作空间的求解问题，主要是图解法、解析法和数值法三种，解析法表达式较复杂，不适于工程实际应用；图解法虽直观易于工程应用，但求出的工作空间为剖截面或剖截线，且解析法、图解法对关节较多的机械臂工作空间求解时过于复杂；数值法是将极值理论、优化方法作为基础，可分析任意形式的机械臂，且随着计算机软硬件发展，越来越多的被用来求解分析工作空间[3]。

本文采用一种基于随机概率分布的数值分析法——蒙特卡洛法，结合MATLAB仿真软件对混凝土水力破拆机械臂的工作空间进行求解、分析。

1 机械臂结构及参数方程

混凝土水力破拆机械臂结构如图1，主要由主回转关节θ1、伸缩关节d2、横向回转关节θ3、俯仰关节θ4和横向移动关节d5五个自由度构成，主回转关节安装在机器设备机座上，机械臂末端安装高压喷枪，工作时喷枪摆动幅度较小，在求解工作空间时可将喷枪视为竖直。

图1 机械臂结构简图

参照D-H法则在机械臂各连杆末端上建立坐标系[4]，如图2所示，以o0x0y0z0作参考坐标系，在喷枪顶点建立坐标系o6x6y6z6，与o5x5y5z5相比其位置向x5轴负方向偏移230 mm，dx=-230 mm，y5轴正方向偏移490 mm，dy=490 mm。机械臂各连杆D-H参数如表1所示。

图2 机械臂D-H坐标系

表1 机械臂连杆D-H参数

表1中各关节D-H参数代入式（1），即知相邻连杆间齐次变换坐标矩阵0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6。

其 中 ， cθi=sinθi， cαi-1=cosαi-1， sθi=sinθi，sαi-1=sinαi-1， i=1,2,⋅⋅⋅n 。

将0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6依次相乘，可得喷枪顶点坐标系o6x6y6z6在参考坐标系o0x0y0z0中的位姿0T6[5]，如式（2）所示。

式（2）中，[nxnynz]T、[oxoyoz]T、[axayaz]T、[pxpypz]T依次为喷枪顶点坐标系o6x6y6z6中的x6、y6、z6、坐标原点o6在参考坐标系o0x0y0z0中的向量表达式。

按矩阵相等原则[6]，则机械臂末端喷枪的顶点在参考坐标系o0x0y0z0中的位姿如式（3）所示。

其中： c13=cos(θ1+θ3)，其余类推。

2 机械臂运动参数验证

以Robotics Toolbox为工具仿真机械臂从初始位姿至水平破拆位姿的动作，即喷枪顶点从初始位置a=[π/2 0-π/2-π/2 0] ， 至 终 止 位 置 点a=[π/4 200-π/4-π/2 300]，仿真时间 1 s ，采样时间0.005 s，机械臂最后位姿如图3，仿真完成后输出各关节角度或位移变化曲线如图4。

由图3、4知，各关节的角度或位移随时间变化的曲线平滑且无异常点，机械臂各连杆未有位置错位现象，验证了机械臂D-H参数及方程的正确。

图3 机械臂最终位姿

图4 关节1～5的角度或位移-时间曲线

3 工作空间

3.1 工作空间描述

结合图1、2及表1，在各关节运动范围内给定任意一组数据，参照式（3）即可求出喷枪顶点坐标系o6x6y6z6原点在参考坐标系o0x0y0z0中的一个位置，在取尽各关节变量qi(qimin≤qi≤qimax)范围内所有值后，则所能求出的喷枪顶点坐标系原点在参考坐标系中全部点构成了机械臂末端喷枪的工作的集合W(P)，即是其工作空间[7]。

其中：W(P)代表的集合即为喷枪工作空间，p(q)∶Q⊂R3为机械臂位置分量，q为关节的变量，Q为关节的取值区间。

按式（3），P=[px,py,pz]T是喷枪顶点相对参考坐标系的位置向量，则W(P)表达式如（5）所示：

3.2 运动空间仿真

在MATLAB中按照蒙特卡洛法求解喷枪工作空间W(P)的思路如下[8]：

1）将表1中各关节qi的D-H参数予以赋值；

2）用rand函数在[0,1]区间内随机产生的数值视为一个步长，则机械臂中各移动关节随机值是di=dimin+(dimax-dimin)×rand[0,1]，旋转关节随机值是θi=θimin+(θimax-θimin)×rand[0,1]；

3）将2中产生的随机值代入式（3），解得的数值(px,py,pz)即为喷枪顶点的一个工作位置；

4）考虑图像精度及运算时间，把2、3的重复次数设定为m=50 000次，则可计算出50 000个喷枪工作点(px,py,pz)；

5）再以scatter函数把喷枪m=50 000个工作点输出，即可求得机械臂末端喷枪顶点的工作空间。

机械臂末端喷枪的工作空间及其xoy、xoz、yoz三面上的投影如图5、6、7、8所示。

结合图1及图5、6、7、8可知：机械臂末端喷枪顶点横向最大移动范围是0～2 630 mm，纵向最大移动范围是0～1 890 mm（纵向最大移动距离=800 mm+基座高565 mm+机器设备高425 mm），喷枪的纵向最大作业深度是630 mm（最大作业深度=1 720 mm-基座高565 mm-机器设备高425 mm）。

图5 喷枪三维工作空间

图6 工作空间xoy面投影

图7 工作空间xoz面投影

图8 工作空间yoz面投影

4 总结

（1）以D-H法则构建了各连杆运动学方程，且在Robotics Toolbox中仿真了机械臂从初始位姿至水平破拆位姿的动作过程，输出了各关节角度或位移随时间变化曲线，证明了D-H参数及运动学方程的正确；

（2）按照推导运动学方程的结果，完成了在MATLAB中以蒙特卡洛法对机械臂末端喷枪工作空间的仿真、求解，分析得到了喷枪的工作空间及横向、纵向、最大纵向作业深度等主要参数，对后续机械臂末端喷枪的轨迹规划和运动控制具有一定参考意义。

参考文献：

［1］何佳唯，平雪良，李朝阳，等.机器人工作空间求解方法研究及应用［J］.机械传动，2015，39（10）：68-71.

［2］常军，南文虎，李玉明.基于蒙特卡洛法的DELTA机器人工作空间分析［J］.机械工程师，2012（09）：14-15.

［3］李保丰，孙汉旭，贾庆轩，等.基于蒙特卡洛法的空间机器人工作空间计算［J］.航天器工程，2011，20（04）：79-85.

［4］赵燕江，张永德，姜金刚，等.基于Matlab的机器人工作空间求解方法［J］.机械科学与技术，2009，28（12）：1657-1661.

［5］蔡蒂，谢存禧，张铁，等.基于蒙特卡洛法的喷涂机器人工作空间分析及仿真［J］.机械设计与制造，2009（03）：161-162.

［6］朱志明，马国锐，郭吉昌，等.基于蒙特卡洛法的箱型钢结构焊接机器人工作空间分析［J］.焊接，2016（09）：1-5.

［7］刘志忠，柳洪义，罗忠，等.机器人工作空间求解的蒙特卡洛法改进［J］.农业机械学报，2013，44（01）：230-235.

［8］李保丰，孙汉旭，贾庆轩，等.基于蒙特卡洛法的空间机器人工作空间计算［J］.航天器工程，2011，20（04）：79-85.