最大稀布平面阵的WOA综合

袁鹏亮

(1. 庆阳职业技术学院 能源工程系，甘肃 庆阳745000；2. 西北工业大学 电子信息学院，陕西 西安 710129)

阵列综合是根据系统所要求的天线指标、波束形状等来求解天线的阵元间距、激励幅度和相位等参数的过程.可以看出，阵列综合是天线设计的逆向过程.在通信、射电天文望远镜以及卫星通信等应用中，通常要求天线辐射的波束形状具有主瓣宽度尽可能窄、旁瓣峰值电平(PSLL， peak sidelobe level)尽可能的低的特点，这样的波束特点一方面可以减小降低对消工作过程中的环境噪声及人为干扰，提高传输的质量和效率，另一方面，窄波束比宽波束更节省功率，方向性更好[1].

实现以上波束形状一般有硬件和软件两种实现途径.硬件实现不可避免的会抬高设备的复杂度和造价成本，于是一般采用软件的方式.软件的方式来做综合天线阵列，大致有数值法和解析法两类.解析法对于许多实际的工程问题来说过于复杂，且影响因素多是未知，解析求解精确值根本不可能实现，造成解析法的难以应用.数值法随着计算机技术的发展兴起，尤其是算法研究的突飞猛进，开始被阵列综合广泛采用.特别是对于参数要求不太高的情况，这使得工程应用更为经济便利[2].

迄今为止，阵列综合已经有七十多年的研究历史.多种随机的、进化型、单目标和多目标的算法陆陆续续被引入到研究当中，例如，遗传算法(GA，genetic algorithm)、粒子群算法(PSO，particle swarm algorithm)、差分进化算法(DE，differential evolution algorithm)等.

在文献[3]中，利用GA方法对16阵元均匀间距的线阵和16×16阵元的矩形平面阵进行了优化，优化变量是激励幅度，实现给定PSLL的方向图综合.与Taylor综合方法相比，综合相同的方向图，速度有了提高.在文献[4]中，采用GA算法对稀疏平面阵做了综合，约束条件是阵元间距大于半波长.采用0°和90°方位的PSLL和作为适应度目标函数.这里的阵元总数目为108，孔径约束规格在9.5λ×4.5λ.

在文献[5]中，引入PSO方法到稀布阵的综合，考虑的是奇数阵元对称线阵的阵元间距优化，约束条件是获得尽可能低的最大PSLL.在文中，将PSO算法的交叉、变异操作环节去除，改进后的PSO算法更快，取得了比以前更好的优化结果.不足之处在于优化的阵列数目较小.

在协同搜索算法(harmony search algorithm)基础上改进的DE算法综合线性非周期阵列见于文献[6].通过在经典的DE算法中加入参数选择策略，结合了DE算法较好的区域搜索能力和协同搜索算法的好的搜索多样性.该复合算法有较快的收敛速度，计算负荷也较小.

鲸算法WOA(Whale Optimization Algorithm)是一种最近提出的新的随机仿生优化算法[7]，在对单目标的优化上有较为明显的效率优势.并且，优化结果较好，也有较高寻优命中率.本文就最大矩形平面阵的WOA综合方法做了研究.

1 问题描述

1.1 阵列模型

现在我们考虑一个阵元数目为4N的可分离的矩形平面阵，阵列的阵元排列限定在2L×2H(L是矩形长，H是矩形宽)范围.阵列的阵元表示采纳球坐标系(见图1).每个阵元在坐标系中的位置可以表示为(rn,θn,φn),阵元在XOY坐标平面以原点对称分布，那么其远场辐射方向图为

图1 天线阵的坐标系统

(1)

在此，wn为激励幅度，相应的激励相位φn，β=2π/λ为波数，λ是波长.若令

cosαn=sinθsinθncos(φ-φn)+cosθcosθn,θ∈[0,π],φ∈[0,2π].

(2)

假设阵元采用均匀等幅激励，wn=1,φn=0.根据给定的阵列几何形状，则表达式(1)改写为

(3)

根据(2)，当φ=0，(3)的具体形式可以表示为

(4)

相似的，在φ=π/2，(3)的具体形式可以表示为

(5)

本文优化的目标是取得在PSLL最低时的阵列阵元的排布参数，取E(θ,0)与E(θ,π/2)的和最大值作为适应度函数，那么，这里的约束性优化问题就可以定义为

(6)

1.2 WOA算法

WOA算法是一种最近新提出的仿生优化算法，其灵感来源于海洋中的座头鲸的捕猎行为.该算法是基于随机搜索来得到最优解的，主体结构包含三个组成部份：围取目标、螺旋形泡泡网反馈策略、搜索目标.算法主要流程见图2.

图2 WOA算法的流程图

1.2.1 围取目标

初始化种群.若d为一个矢量，其表示为d={d1,d2,…,dn}.又令x=d，则

x=(x1,x2,…,xn)T,∀xn∈R,
y=(θ1,θ2,…,θr)T,∀θn∈Θs.

(7)

Θ2表示天线方向图的旁瓣区域.在进行优化时，若初始种群规模设定为m，优化变量个数为n，那么种群的维度就应为m×n，具体可以表示为

(8)

现在我们可以令

若x(t)是当前的优化变量，x*(t)为本次迭代时的最优解，其主要行为由以下表达来概括.

(9)

1.2.2 反馈策略

内含两个步骤:环缩小策略(circle shrinking mechinism，CSM)，螺旋上升策略(spiral upingmechinism，SUM).

为了模仿随机性P取随机值.当p<0.5,选择CSM来搜索可行解；否则，选择SUM来搜索可行解.

(10)

1.2.3 搜索目标

在自然界中座头鲸的搜索随机性主要取决于彼此间的具体位置.为此，这里利用A的随机值来实现远离参考鲸当前位置.其数学模型如下：

(11)

WOA算法主要的控制参数是A、C，控制参数相对较少，其优点是计算速度快效率高，易于实现.

2 仿真结果及讨论

在此我们考虑一个对称的矩形平面阵，阵元个数为108，孔径约束规格为2L×2H=9.5λ×4.5λ.在， 取样100，分辨率为0.9°.优化变量的上下界分别设定为4.75、0.25，迭代最大次数选择50次.

优化得到的最优解对应的远场辐射方向图如图3所示，小图为φ= 0°和90°的各自对应的辐射方向图，主图为两者副瓣区域电平值和的辐射方向图.在文献[4]中，本例的GA算法优化得到的最优适应度值为-45.456 dB(φ= 0°平面的PSLL为-29. 597 dB,φ= 90°平面的PSLL为-15.859 dB).本文的WOA算法得到的单个方向图中最大PSLL为-48.65 dB(φ=0°平面的PSLL为-20.29 dB,φ=90°平面的PSLL为-28.36 dB).与文献[4]相比，在最优适应度值上降低了3 dB，φ=0°平面和φ=90°平面的PSLL都分布在-20 dB以上.图4为优化得到的阵元位置分布，可以看出，阵元随机的分布在第一象限的平面.

图3 最终优化结果对应的方向图

图4 阵元位置分布

为证实WOA方法的稳健性，列出了最优结果迭代过程的收敛曲线(图5)，以及最后3次单独运行的收敛曲线与平均收敛曲线的对比图(图6)，可以看出，WOA算法是有效且稳健的.

3 结语

WOA算法作为一种新提出的算法，目前为止在阵列综合中还没有应用.本文就WOA算法引入到最大稀布矩形平面阵的阵元位置的综合，由于矩形平面阵在等幅激励的情况下即是可分离的，可以等效为两个维度上的线阵综合，与WOA算法结合，不考虑互耦效应和阵元间距约束的情况下，取得了较GA算法更优的结果.WOA算法目前仅是一种只能优化单目标的算法框架，如何应用于多目标问题将是后续的可探讨的问题.

图5 最终得到的优化结果的收敛曲线

图6 单次与平均收敛曲线

参考文献：

[1] 吕善伟.天线阵综合[M].北京:北京航空学院出版社,1988.

[2] 袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京:科学出版社, 1997.

[3] 边 莉，车向前，杨国辉，等.基于遗传算法的低副瓣阵列天线综合[J].计算机应用,2008, 28(7): 1 656-1 658.

[4] 陈客松,何子述.平面稀布天线阵列的优化算法[J].电波科学学报, 2009, 24(2): 193-198.

[5] 刘姜玲,王小谟.改进粒子群算法综合有间距约束的稀布阵列[J].微波学报, 2010, 26(5): 7-10.

[6] Zhang F, Jia W, Yao M. Linear Aperiodic Array Synthesis Using Differential Evolution Algorithm[J]. IEEE Antennas & Wireless Propagation Letters, 2013, 12(9): 797-800.

[7] Mirjalili S, Lewis A. The Whale Optimization Algorithm[J]. Advances in Engineering Software, 2016, 95(3):51-67.