延续数学思维 提高复习效率——《整数混合运算复习课》教学片断与思考

许玉燕

（本文作者系朱乐平名师工作站“一课研究”组成员）

有效的数学教学注重思维的训练，强调思维品质的提升。从计算复习课的角度出发，教师在对思维能力处在不断发展和提升的小学生进行教学时，需要潜心解读教材，更要用心研读学生，抓住有效的生成资源与思维火花，做到“题尽其用”，引导学生在“算中思”“思中悟”“悟中通”，有效促其思维品质的提升。

一、猜想操作，促成思维的敏捷性

【教学片断一】

课始出示人教版二年级下册练习十三第1题（数据稍有改变）：

师：观察每一组题，你们有什么发现？

生：每组算式中的数一样，但下面的算式中有小括号，上面算式中没有，所以运算顺序不一样。

师：猜猜每组题的计算结果会一样吗？（学生意见不一致）

（学生独立用递等式的形式在练习本上完成，请几名学生板演。汇报计算过程，重点反馈错例，在反馈中复习运算法则）

师：先算什么？再算什么？

每一组题校对后，教师追问：运算顺序相同吗？（不同）计算结果呢？（相同）

【思考：通过“观察——猜测——操作——验证”四步，使学生从认知冲突到结论一致，实现了本题第一层次的三点目标：一是保证了一定的技能练习量；二是通过汇报交流，结合具体题目回顾复习了运算法则；三是激发了学生的学习兴趣与探究欲望。】

二、由表及里，培育思维的深刻性

【教学片断二】

师：从刚才的检验过程中，你发现了这四组题有什么共同点吗？

生：每组题运算顺序不一样，结果都一样。

师：怎么会这样呢？这几组题里藏了什么奥秘才会出现这样的特点呢？

生：第一组中上面的算式是一个一个减去，下面的算式是先在小括号里加起来，然后再一口气减去，所以结果一样。

师：真是一语点醒梦中人啊。其他同学听懂了吗？你能举个生活中的例子来说明吗？

生：比如我有65支铅笔，先送给乐乐19支，再送给方方31支，还剩15支，可以用连减算。也可以把送给乐乐的19支和送给方方的31支铅笔加起来一共50支先一起拿走，这样我最后还是剩下15支。

教师小结：像这样连减的算式，我们可以改写成被减数减去两个减数的和，结果不变。

（在汇报中发现关于减法的算式，学生能简单通过举例说理，而关于除法的算式，学生则说不清，但都能发现加了小括号后，后面一个符号发生了变化。对此教师直接课件出示下图，以释算理）

【思考：数学家张伯驹先生曾说：“数学使我学会长时间的思考，而不是匆忙地去做出解答。”因此在猜想验证的基础上，我给学生充分的时间独立思考，小组交流，引导学生进一步思考算式中的特点与规律，尝试结合生活实例来说明算式之间的联系。关于减法和除法性质的教学，教材主要编排在四年级下册的运算定律中，因此，我并没有强加给学生这些概念的解析，而是引导学生结合生活情境去理解抽象的算理，让学生用已有的生活经验去支撑现有的数学认知，使数学模型在学生头脑中构建得更为深刻。对于除法的性质学生不易想到合适的生活情境来解释，我直接借助动态图从乘除法意义的角度进行演示，也渗透了数形结合的数学思想。】

三、感悟对比，发展思维的灵活性

【教学片断三】

师：第一组中两题算式结果都一样，你觉得哪一题算起来更方便？为什么？

生：下面一题算起来方便。因为第二题括号里刚好算出来是50，65-50容易口算。上面一题需要退位，比较麻烦。

教师小结：连减的算式中如果发现两个减数的和正好是整十数或整百数，我们就可以利用小括号改写成先加再减的算式。

（通过几组题的比较，关键引导学生体会到特殊情况下加上小括号会使计算变得更简便）

【思考：简便运算是对学生进行思维训练、培养学生利用规律实现计算最优化思想的重要途径。系统的简便运算教学一般放在四年级下册教学运算定律之后，但简便运算不仅是一种技能，更是一种优化的意识，这种简算的意识需要时刻培养与渗透，二年级学生同样需要。因此，本节课旨在通过对比，使学生感悟何种情况下用小括号会使计算更简便，培养学生的计算能力，发展思维的灵活性。】

四、验证规律，调动思维的批判性

【教学片断四】

师：像这样运算顺序不同、结果相同的算式还有吗？你能创造几组吗？试着写一写。

学生汇报，教师板书并现场引导学生一起计算验证。发现有两类例证：

第一类：顺序不同，结果相等16÷8÷2 36÷6×2 32-12-18 16÷（8×2） 36÷（6÷2） 32-（12+18）

第二类：顺序不同，结果不等20+15+10 6×4÷3 24÷4-4 20+（15-10） 6×（4×3） 24÷（4+4）

（学生看到结果不等时很惊讶）

（教师先不做任何评论，分别根据结果把算式写在两个不同的区域，说：明明是按刚才的规律列的算式，怎么这些同学的算式得数却不相等呢？是这个规律不成立吗？还是另有原因呢？）

［通过观察、思辨，学生最终总结出两个使算式结果相等的条件：1.原式是同级运算（只加减或只乘除）；2.跟原式中第一个符号有关，第一个符号必须是“-”或“÷”］

【思考：既然学生出现了错例，教师就不能视而不见，那么如何对二年级的学生解释这现象背后的本质更为合适呢？在小学第一学段，既没有学过相关的运算律，更没有学习负数的计算，所以对于“化减为加、化除为乘”的原理无法剖析。而对于形象思维占据主要地位的低段学生而言，更无必要刻意提前渗透。因此，面对困惑，我主要从两条路径引导学生探明原因：一是结合生活情境举例揭示算式不成立的原因；二是引导学生观察第一类算式的共性，算式中的第一个符号非减即除，并且同一个算式中的运算非加减即乘除。这样的处理方式是建立在学生的认识规律基础上来深刻认识和理解的，能有效纠正类似想当然的错误发生。在教学中我们应把握好“知识深度”，但需追求“思维深度”，充分调动和培养学生思维的活跃性与批判性。】

五、启发联想，鼓励思维的独创性

【教学片断五】

师：具有这样特点的算式还能写几个呢？写得完吗？（写不完）

（当几乎所有人都认为对这道题的研究即将告一段落时，班上突然有一男生发言：“老师，我有办法。可以用字母来代表所有的数。”）

师：为什么选用字母表示呢？

生：因为假如字母可以表示任何数的话就可以。

师：你打算怎样表示？

［学生回答，教师板书：A-BC=A-（B+C）］

随即学生呈现出了各种符号表示的等式：

【思考：有研究表明，思维的独创性具有明显的后天性，是在主体思维发展的进程中逐步形成和稳定化的，因而在其形成和发展时期具有可培养性。而思维独创性的培养需要教师给予学生的行为、思想较大的自由度，这样才会增强自主意识，学会独立思考、自由表达、自我选择，促进自我发展。因此本环节中对于学生的意外发言，我并没有草草收场，而给予充分的表达机会，从而把他的独特想法示之于众。如此，不仅让其他学生受到了思维启迪，使课堂气氛又一次高涨，还借机自然地渗透了符号化的数学思想方法，培养了学生的抽象思维能力及创新的思维品质。】

发展数学思维能力是数学教学的重要任务，复习课的教学不能只定位于知识点的梳理与体系的构建，更应注重复习效率的优化及学生思维品质的培养。一道题，多层次、多角度，在复习基础知识的同时让学生参与和经历各类数学学习活动，善于捕捉与思考规律背后的本质，获得自我生长的力量。让学生的数学思维得以延续生长，使复习课取得理想的效果。