也谈一道高考模拟题的严谨解答

北京丰台二中

甘志国 (邮编：6100071)

《中学数学杂志》2017年第9期第36-38页发表了沈晓凯、胡典顺老师的文章《从一道高考模拟题的解答谈起——兼谈如何提升学生的逻辑推理素养》，该文也被中国人民大学复印报刊资料《高中数学教与学》2017年第12期第57-59页全文转载.

该文先介绍了一道高考模拟题及其参考答案，并指出了参考答案的不严谨，接下来还给出了其严谨解答.但该严谨解答过多的依赖于数形结合，且分类讨论较繁、篇幅冗长.本文将给出其简洁的严谨解答.

图1

高考模拟题 如图1所示，在△ABC中，边BC的中点为D，若∠BAD+∠C≥90°，求证：sin2B≥sin2C.

原参考答案由∠BAD+∠C≥90°，可得

∠BAD≥90°-∠C

①

sin∠BAD≥sin(90°-∠C)=cosC

②

csin∠BAD≥ccosC,

由(∠BAD+∠C)+(∠CAD+∠B)=180°,∠BAD+∠C≥90°，可得

∠CAD+∠B≤90°,

∠CAD≤90°-∠B

③

sin∠CAD≤sin(90°-∠B)=cosB

④

bsin∠CAD≤bcosB

由边BC的中点为D，可得S△ABD=S△ACD，即

csin∠BAD=bsin∠CAD,

所以bcosB≥ccosC,

再由正弦定理，可得

sinBcosB≥sinCcosC,

sin2B≥sin2C.

而由①得不出-90°≤90°-∠C≤∠BAD≤90°(事实上，∠BAD可以是钝角)，所以由以上解答得出结论②欠严谨.

实际上，笔者在著作《数学高考真题解密》(清华大学出版社，2015)第56-59页也指出了这种不严谨：2009年高考江西卷理科第19题及2014年高考浙江卷理科第18题的解答均有类似的不严谨，而普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)(下简称《必修5》)第10页的最后一题的解答(见与该教科书配套使用的《教师教学用书》第10页)是严谨的.

笔者的严谨解答 如图1所示，设BC=a,CA=b,AB=c.

(1)当∠BAD≤90°时，由原参考答案，可得sin2B≥sin2C.

(2)当∠C≥90°时，可得180°≤2C<360°,sin2C≤0.

还可得0°<∠B<90°,0°<2∠B<180°,0

(3)当∠C<90°<∠BAD时.

在△ABD、△ACD中，由正弦定理，可得

所以

若b≤c，可得sin(180°-∠BAD)=sin∠BAD≤sin∠CAD.

由∠BAD>90°，可得180°-∠BAD,∠CAD都是锐角，所以180°-∠BAD≤∠CAD,∠BAC=∠BAD+∠CAD≥180°，这不可能！所以b>c.

由∠BAC>∠BAD>90°及余弦定理，可得b2+c2

而sin2B≥sin2C⟺bcosB≥ccosC

⟺(b2-c2)(b2+c2-a2)≤0.

因而此时也有sin2B≥sin2C.

在△ABD中，由余弦定理可求得

由∠BAD>90°，可得b2+3c2

b2+3c2

b>c.

还可得b2+c2

而sin2B≥sin2C⟺bcosB≥ccosC

⟺(b2-c2)(b2+c2-a2)≤0,

因而此时也有sin2B≥sin2C.

综上所述，可得欲证结论成立.

解答这道高考模拟题确实难度不小，可把它改编为下面的题目，考生可以分步得分.

改编题如图1所示，在△ABC中，边BC的中点为D，已知∠BAD+∠C≥90°.

(1)若∠BAD≤90°，求证：sin2B≥sin2C；

(2)对于一般的情形，结论sin2B≥sin2C是否还成立？若成立，请给出证明；若成立，请举出反例.