数学开放型问题及其教学实践与思考

安徽省肥西县上派初级中学，合肥市中学特级教师工作站

卫德彬 (邮编：638400)

随着新课改的推进，数学开放型问题已经成为一个新热点.而围绕这个热点开展的活动也可以说是如火如荼了.数学开放型问题的教学研究确实为教师改进数学教学与培养学生的创新能力提供了新的可能性，也为学生理解数学的内涵与外延提供了新的视角．本文结合新课改后的数学课堂教学实践，试就数学开放型问题的概念、特点、类型及教学实践作初步探讨，以期抛砖引玉，让更多热爱这个话题的同仁就这个新热点展开研讨，进而推动数学课堂的创新教学.如有不妥之处，敬请斧正.

1 概念的界定

在“何为数学开放型问题”的讨论中，笔者通过梳理数学界诸多学者对此问题的回答，现总结为以下四点：

(1)指条件不是特别完备，且当条件多时需选择、当条件少需补充的题；

(2)指一个问题有多种解法的题；

(3)指正确答案不唯一的问题；

(4)指可以是有解的问题，也可以是无解的问题.

从上面的四点中，我们可以看到数学开放型问题需要的条件有：不完备；且条件多时需选择、条件缺时需补充，等等.而开放题的答案需要的条件有：有多种；不固定；不确定；可无解；等等.

综上所述，虽然对数学开放型问题需要条件的说法多种多样，但对数学开放型问题答案所需条件的说法就相对来说比较一致了.笔者认为：

(1)问题的“结论”是相对于问题的“条件”而存在的，而问题的“答案”是相对于整个问题而存在的；可以说它们之间是一种包含关系，但绝不能将问题的“结论”与问题的“答案”混为一谈.

(2)对于问题的条件不能作过多的局限，对于问题的答案也必须是多样的，这也正是“开放”这个词所在的意义.

笔者鉴于以上两点总结：答案不唯一的问题称为开放型问题.它最为显著的特征是：多样化的答案.

2 类型及教学实践

一个数学开放题，若其未知要素是题设，则为条件开放题；未知要素是推理，则为策略开放题；未知要素为题断，则为结论开放题；只给出一定的情境，要想解决它所必不可少的相关条件都需要解题者在解题过程中自主设定、寻找与建构的问题，叫做综合开放题．

2.1 条件开放型

在这类题目中，一般结论明确但条件不充分，需要探求未知条件,要求学生在掌握基本知识的基础上能够进行逆向思维，即“执果索因”.解题思路往往根据结论以及相关的公式、定理，挑选出最佳方法.

例1计算

(1)(+1)+(-3)；(2)3x-(2x+1)；(3)(m2n3)4.

这是3道答案唯一的封闭题：(1)-2；(2)x-1；(3)m8n12.现在提出一个逆问题：试写出一个算式，使其运算结果为：(1)-2；(2)x-1；(3)m8n12.这个题就成为一组条件开放题.学生在解答中，可以写无数个算式，教师可基于学生水平、智力程度的差异和教学阶段的不同，启发学生从2个数、3个数……；从整数到分数；从有理式到无理式等各个层面，写出具备不同风格的算式，这样不同数学水平的学生的数学能力都能得到充分发挥．同时在无形的比赛中也使学生的非智力因素得到调动．

2.2 策略开放型

策略开放型问题是要求学生能够根据题干设定的条件，采用已学知识和方法挑选出最贴合实际的解决问题的策略的一类题，但最终得到的结论往往是唯一.

例2我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡、兔各几何？

这是一个采用再通俗不过的语言描述的策略开放型问题，取材于学生熟悉的实际生活中“鸡兔同笼”问题，学生的解答过程也必定是多种多样的．

方法一“孙子解法”.让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只脚站立着，那么地上的总脚数只是原来的一半，即47只脚.鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是兔的头数的2倍，因此从47里减去头数35，剩下来的就是兔的头数12只，则鸡有23只.这个问题及解法记录于大约一千五百年前的《孙子算经》中.

方法二“吹哨法”.假设鸡和兔接受过特种部队训练，吹一声哨，它们抬起一只脚，还有59只腿在站着，再吹一声哨，它们又抬起一只脚，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还有两只脚立着.这时还有24只腿在站着，而这24只腿全部是兔子的，所以兔子有12只，鸡有23只.

方法三“假设法”.假设全部是鸡，则有70条腿，比实际少24条腿，一只鸡变成一只兔子腿增加2条，24÷2=12只，所以需要12只鸡变成兔子，即兔子为12只，鸡为23只.同样，可以假设全部是兔子.

方法四列一元一次方程求解.

方法五列二元一次方程组求解.

前面的三种解法与后面的列方程(组)求解，其本质都是一致的.以“孙子解法”与列二元一次方程组求解为例进行对比.第一步让“让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只脚站立着”相当于将方程②的两边同时除以2，得到方程x+y=47③，第二步“从47里减去头数35，剩下来的就是兔的头数12只”相当于用方程③减去方程①，得到y=12.我们能感受到，方法五是方法一的抽象表达.同样，我们也可以对比方法四与方法五，感悟列一元一次方程求解与列二元一次方程组求解的内在联系.

通过这样的故事引导，一方面能够让学生产生数学学习的兴趣；另一方面，通过多策略的问题解决方式，发展学生抽象思维，增强学生建模能力，让学生领略数学的智慧之美，从而实现学生数学核心素养的长足发展.

2.3 结论开放型

结论开放型问题通常是给出条件，但最终结果往往不是唯一的结论.其目的是让学生根据题目所提供的各种信息 “执因索果”，解决这类问题的思路是利用已知条件和图形性质进一步发散思维，大胆猜想、透彻分析、发现规律、总结.

例3求使下列两个二次三项式在整数范围内能够分解因式的整数m、n值．

(1)y2-my-18；(2)x2+7x+n.

这是一个结论开放题，学生通过试验、讨论、交流，得到

(1)因为-18=1×(-18)=(-1)×18=2×(-9)=(-2)×9=3×(-6)=(-3)×6，

所以m=±17，±7，±3．

(2) 因为7=2+5=1+6=-1+8=-2+9=……

所以n可以取10，6，-8；-18，……无限多个．

通过讨论、交流，学生的思维充分展开，灵活性得到培养，并且学会了全方位考虑问题，最重要的是培养了学生由特殊的数去寻找隐藏的一般规律的数学思想方法．

2.4 综合开放型

在综合开放问题中只给出一些抽象的情境，要求学生在这些抽象的情境中自主设定条件，确定适合解题的相应策略，得出相应的结论.

例4已知A、B两处的距离为360km，杰瑞以72km/h的速度从A处出发，汤姆以48km/h的速度从B处出发.请你添加适当的条件，并尽可能多的提出问题，列出相应的方程.

在数学课堂上学生提出以下8个问题：

(1)两人相向而行，且同时出发，经过多久相遇？

(2)汤姆比杰瑞先出发25min，汤姆出发多久后两人在AB间相遇？

(3)两人相向且同时出发，相遇时杰瑞离A处多远？离B处多远？

(4)两人相向且同时出发，相遇后汤姆再用多久能够到达A处？

(5)两人背向且同时出发，多久后两人相距720km？

(6)两人背向而行，但汤姆先出发2h，汤姆出发多久后两人之间的距离为720km?

(7)两人背向而行，杰瑞先出发2h, 汤姆出发多久后两人距离为720km?

(8)两人背向而行，汤姆先出发2h,杰瑞出发多久后两人相距720km?

学生提出问题后，问题(1)列出的解法就有以下几种：

设两人相向且同时出发，过了xh后两人相遇.则

设两人相向而行，且同时出发，过了xh后两人相遇.则

解法148x+72x=360；

解法248x=360-360；

解法372x=360-48x；

解法9(360-72x):(360-48x)=48:72；

通过这道开放题的教学，不仅使学生发散思维的能力得到了充分的培养，而且随着这些问题逐步深化，不断掀起数学教学上的高潮，学生产生了学习的高峰体验，并通过交流，把各种智力体验变成了大家共同的财富，学生的联想、化归、转换、分析问题和解决问题的能力得到提高.

3 实践意义与思考

3.1 实践意义

(1)由于开放型问题的条件基本不会直接给出，这就需要通过创设来获得.其解题的策略与方法也是多渠道、多角度的，而结论往往是不确定的、多样的.这也充分拓展了学生思维的空间，同时也打破了学生在解题中生搬硬套的习惯，使思维定势带来的负面影响减到最弱.

(2)开放型问题的教学使学生非智力因素得到了充分调动.同时激发了学生学习数学的兴趣，发扬了独立思考与探索的精神.在解答开放型问题过程中，学生体验了数学之美，培养了数学审美观，从而对数学产生一种新的领悟.

(3)充分的体现“教师主导,学生主体”.教师不再一味的填塞、硬灌,而是让学生在各自的最近发展区学习，使他们的潜在智力得到最大限度地开发，从而成为分析、解决问题的主体.

3.2 思考体会

笔者在进行数学开放型问题的教学实践和教学研究时，不断汲取教训，不断总结经验，从而有了自己的一些思考.这里主要提两点思考与体会，以资研讨.

(1)要注重教学过程.由于开放型问题存在多种解题策略和不同的答案，所以让学生的思维活起来，培养学生的应用意识和创新意识，使它们能够成为学生的一种思维习惯，进而提高学生综合分析问题、解决问题的能力这是作为教师的首要任务.

(2)要重视归纳总结.开放型问题有助于学生发散性思维的发挥，教师必须做好归纳总结.当解出一道开放型问题的多种策略都得以运用，且各种结论都推断出来时，教师应带领学生一起进行归纳总结，寻找各个结论间存在的层次性和规律性，这更是当今数学课堂教学过程中不可或缺的重要环节.

总之，数学开放型问题使水平各不相同的学生的思维都能得到不同程度的训练.古人说：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”我们观察事物的立足点、立场不同，就会得到不同的结论.在这个多元化的时代，我们应该摒弃掉一些陈旧的、传统的、定势的思维，努力培养学生多元化的创新思维.数学开放题的教学实践与研究可以说是顺应了时代的发展.笔者在这里希望各位一线的教师能积极参加到这个领域的研究中，运用数学开放型问题这一载体，培养出大批具有多元化思维的创新型人才.

1 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2011

2 范黎明. 浅谈数学开放题教学的课堂文化[J]. 数学教学，1998(5)：3-5

3 何光峰.关于数学开放题及其教学的几个问题[J].教育科学研究，2001(7)：44-46

4 俞求是．中学数学教科书中的开放题[J].中学数学教学参考，1999(4)：1-3