土结相互作用对罐液体系动力特性的影响研究

张如林， 张志伟， 程旭东， 王淮峰

(1.中国石油大学(华东) 储运与建筑工程学院，山东 青岛 266580； 2.厦门理工学院 土木工程与建筑学院，福建 厦门 361000)

作为国家进行石油战略储备的重要设施，大型储罐在国家石油战略储备基地中得到了广泛的应用[1]。我国是一个多地震国家，许多储油罐位于地震区，大型储罐内部存储易燃易爆，具有毒性的介质，一旦在地震作用下发生破坏，易造成火灾、爆炸等次生灾害，严重危及人民的生命财产安全。对储罐液体系统进行模态分析，研究储罐液体晃动与结构的耦合振动特性，是检验数值分析模型建立合理与否的有效手段，同时也是研究地震作用下储罐的动力响应和破坏机理的基础。因此建立尽可能符合实际情况的储罐模型进行振动特性研究十分重要。

国内外关于储液罐的研究已取得了一定成果，如Housner[2]将储罐液体假设为理想流体，提出了简化的质量-弹簧系统模型，但该模型并未考虑罐壁的弹性变形以及液体的耦合振动。刘帅等[3]在此基础上，利用Penzien集中质量模型建立了考虑桩-土-罐相互作用的储罐简化分析模型。孙建刚等[4]建立了考虑摆动效应的立式储罐隔震分析简化力学模型。实际上储液罐的动力响应问题为三维问题，随着计算机和有限元技术的迅速发展，有限元数值模拟软件为储罐液体晃动与结构耦合振动的研究提供了有效途径，很多学者利用数值方法研究储罐的动力特性[5]。郑运虎等[6]对薄壁储罐分别进行了空罐、半罐和满罐的模态分析。王金龙[7]基于ANSYS软件，建立刚性基础上储罐的三维有限元模型，对大型储罐罐液耦合模态进行了数值模拟。赵晓磊等[8]以ADINA软件为分析平台，采用弹簧单元模拟地基，研究了储罐-储液-地基系统三维有限元模型的动力特性。

目前储罐研究大多没有考虑土结相互作用，尤其是桩基软土场地上的罐体研究还不够，已开展的研究大多对模型进行了处理和简化，难以反映罐液体系的实际模态。为此，本文基于拉格朗日方法考虑流固耦合，利用ANSYS软件建立考虑土结相互作用的罐液耦合系统的三维数值模型，研究土体及桩基效应对罐液体系动力特性的影响，并在此基础上对土-罐-液体系动力计算中瑞利阻尼系数的选取进行了初步探讨，为大型储液罐的动力分析提供依据和参考。

1 土-罐-液体系模态分析理论

根据结构动力学理论，结构体系的无阻尼模态分析的基本方程为

φi}

(1)

储液体系的模态分析不同于一般的结构分析，需要考虑液体和罐体之间的流固耦合效应。可以通过附加质量法、拉格朗日法、欧拉法以及拉格朗日-欧拉法等方法来研究流体-结构相互作用问题。本文采用基于位移的拉格朗日方法来模拟液体和罐体之间的耦合。利用ANSYS软件中的FLUID80单元来模拟流体，该单元由空间八节点来定义，每个节点有沿坐标轴方向的三个平动自由度。该单元通过给每个节点施加弹簧作用而具有一种特殊的表面效应。这种弹簧可以看作是一种重力弹簧，在单元的顶面，此弹簧始终为正，而在单元的底部，则始终为负。对于一个内部节点，这种正负弹簧作用被互相抵消，而在模型的底部，则必须由容器对其进行约束，以消除负向弹簧的作用，否则液体将从容器中泄露出去。这种表面弹簧对于保持流体的自由表面非常有效。正的弹簧刚度矩阵可以表示为

Ks=ρAf(gxCx+gyCy+gzCz)

(2)

式中：ρ为液体的密度；Af为单元的表面积；gi和Ci分别为i方向的加速度，以及单元表面的第i个法向分量。

液体质量矩阵和刚度矩阵可以通过下式得到

(3)

(4)

式中：J为雅克比矩阵；Qijk为插值函数；ηi、ηj和ηk为权函数；B为应变矩阵。

当罐液体系中考虑土体时，根据上述公式容易得到土-罐-液体系的无阻尼模态分析的基本方程为

[Mf]){φi}

(5)

式中：M、K分别为质量矩阵和刚度矩阵，下标ss、f、s分别为土-罐-液体系中的土-结构部分，液体部分以及液体表面部分。

上述考虑土结相互作用的罐体体系的模态公式可通过大型有限元软件ANSYS来求解，进而得到整个体系的各阶固有频率和振型，这就需要建立合理的土-罐-液体系的数值分析模型。

2 储罐结构及土体计算参数

2.1 有限元模型的建立

本文研究的储罐模型主要包括罐体、液体、承台、桩体以及土体部分。罐体部分采用Q235，罐壁半径为8.4 m，总高度为14.3 m，其中罐壁高12.24 m，拱顶高2.06 m，液面高度为10.5 m。罐壁厚度分为4段，自罐底分别为12 mm，10 mm，8 mm和6 mm。拱顶厚度为6 mm。罐体材料参数：弹性模量206 GPa，泊松比0.3，密度7 800 kg/m3，线膨胀系数1.0×10-5。罐体中部设置一道刚性加强圈，采用角钢L100×63×8。罐内液体密度1 000 kg/m3，弹性模量2.04 GPa，黏滞系数0.001 13 N·s/m。

罐体所在场地为软土场地，基础采用桩体承台基础，共布置32根桩，环向布置，其中桩体直径为0.5 m，弹性模量为32 GPa，泊松比0.3，密度2 100 kg/m3，长度为20 m。基岩上方土体覆盖层厚度为36 m，共分为5层。场地土层的物理力学参数，如表1所示。

表1 场地土层参数

在研究土结相互作用问题时只能选取有限范围的土体进行分析。土层计算模型一般由两部分组成，一部分是需要输出动力反应结果的核心计算区，另一部分是位于外围的旨在消除远置人工边界影响的扩展区。采用简单的侧移边界作为竖向远置人工边界易于工程应用，但为了消除人工边界上的反射波能量不影响核心计算区的地震反应，土层有限元模型中扩展区部分的水平范围应大于核心计算区外侧土层深度的5倍[9]。据此，本文在每侧土层计算范围取土层深度的5倍，即总的长度为土层深度36 m的10倍，达到180 m。另外，为了提高计算效率，对土体区域采用疏密结合的网格划分方法，即罐体周围的土体区域网格划分得较密，越靠近模型的边界，则土体网格划分得越稀疏。

根据上述原则，利用ANSYS建立考虑土-罐-液体系的三维有限元模型，如图1所示。

图1 土-罐-液体系的有限元模型

由图1可知，储罐结构的罐壁、底板和网壳拱顶均采用SHELL181单元。假定储液为不可压缩流体，采用FLUID80单元。刚性加强圈采用BEAM188单元，并且与SHELL181在接合处共用节点，加强圈的网格划分与罐壁网格保持协调。土体和承台均采用SOLID45单元。钢筋混凝土桩体采用BEAM188单元。模态分析将忽略模型中所有的非线性因素，因此本文不考虑桩基和土体之间的非线性接触效应，即在ANSYS软件中，土体和桩体单元在同一位置处采取共用节点的方式。

2.2 流固耦合和模型边界条件设置

在动力作用下，罐内液体会撞击罐壁，在罐壁上出现明显的晃动响应。为了更加符合实际情况，在流体和罐壁之间建立耦合关系，即液体单元与罐壁之间径向自由度耦合，液体单元与底板单元竖向自由度耦合，保证流体和罐体在法向互不穿透，并保持位移协调，而在切向允许其相对滑动。另外，在模态分析中，所有的非线性因素将会忽略，因此不考虑罐底和承台之间的非线性接触。

在分析时，模型底部节点全部采取X，Y，Z三个方向固定约束。由于计算模型土层的范围已选取足够远，因此不再约束土体两侧边界节点自由度，即采取自由边界。

2.3 计算工况

为了研究土结相互作用对罐体自振特性的影响，本文将建立以下6个数值计算模型进行模态分析，分别为，

(1)刚性地基模型，其中罐体为空罐，记为GETM；

(2)刚性地基模型，其中罐体为满罐，记为GFTM；

(3)考虑地基与基础的储罐模型，其中罐体为空罐，记为PETM；

(4)考虑地基与基础的储罐模型，其中罐体为满罐，记为PFTM，见图1；

(5)土层自由场地模型，记为FFM；

(6)带桩体和承台基础的场地模型，记为PFM。

3 模态分析结果

在ANSYS计算程序中，包含流体单元的满罐模型需要采用Reduced缩聚法计算其模态。未包含流体单元的模型GETM、PETM、FFM、PFM采用Block Lanczos频率计算方法计算其模态。对于不考虑地基效应的储液罐模型，由于储罐体系为轴对称，两个水平方向的自振频率会成对出现。而本文由于土层两边长度不等，土-结构相互作用体系的自振频率一般不会出现成对的情况。因此下文自振频率结果中的水平方向均指沿场地土层模型的长度方向，也就是x轴方向，如图1所示。下面分别分析上述6种计算工况的模态计算结果。

3.1 自由场模型模态结果

给出自由场地模型FFM和包含桩基承台基础的场地模型PFM的模态计算结果，如表2所示。自由场地模型振型图，如图2所示。

根据计算结果，无桩自由场地和桩基场地模型的前三阶振型均为水平方向振动。由于桩体的弹性模量比场地的土体模量大得多，相当于增大了其附近土层的刚度，因此桩体的存在使得模型的前三阶水平振动频率有所增大，即自振周期变小。同时相比整个水平土层180 m的长度范围，桩体仅位于罐体下方，分布区域相对较小，其水平方向的长度不到土层的一倍深度，因此由其引起自振频率增长的幅度有限，最大仅增加了4.73%。

图2 自由场地模型第一阶水平振动振型

自振频率/HzFFMPFM增幅/%第一阶水平振动频率f11．4601．4710．75第二阶水平振动频率f21．5871．6624．73第三阶水平振动频率f31．9292．0164．51

3.2 刚性地基上满罐模态结果

给出刚性地基上罐液体系自振频率和振型参与系数随阶数的变化情况，如图3所示。其中第一阶液体晃动和罐液耦振动模态的振型参与系数分别为0.67和1.0，第二阶罐液水平耦联的振型参与系数0.14。第一阶液体对流晃动振型图和第一阶罐液耦联振型图，如图4所示。

图3 刚性地基上罐体自振频率和振型参与系数

(a)第一阶液体对流晃动振型图(b)第一阶罐液耦联振动振型图

图4 刚性地基罐液体系振型图

Fig.4 The first-order mode pattern of GFTM

为了验证本文罐液体系数值模态结果的可靠性，下面将数值模拟结果和已有文献公式计算结果进行对比。文献[10]基于Laplace等式第二项线性解给出了液体对流晃动频率的计算式

(6)

式中：fi为液体晃动的第i阶频率；λi为一阶Bessel函数导数的第i个根，为1.841、5.331和8.536；g为重力加速度；R为储罐半径；H为储液高度。

文献[11]应用变分原理来描述罐液耦合系统的振动可得到罐液耦合振动模态，如下式

(7)

式中：fm为罐液耦合系统的第m阶振动频率；R、H同式(6)；I1和I0为第一类修正的第1阶、第0阶Bessel函数；αm=(m-0.5)π。

显然，根据式(6)和式(7)，当i=1和m=1时可分别求得液体对流晃动基本模态和罐液耦联振动模态。我国“立式圆筒形钢制焊接油罐设计规范：GB 50341—2014”[12]中给出的储液晃动基本周期计算公式，以及罐液耦联振动基本周期的计算公式分别如下

(8)

(9)

上述式(8)和式(9)中的系数，请参考文献[12]详细介绍。

根据前面第一节内容(按照文献[12]的式(6)和式(7))，以及我国规范建议公式计算出刚性地基模型中液体对流晃动基本频率fw，以及罐液耦联振动的基本频率fc，并与本文数值模型计算的结果进行对比，如表3所示。

表3刚性地基罐体自振频率和文献公式计算结果比较

Tab.3ComparisonofnaturalfrequencyofGFTMcalculatedbyliteratureformulaandsimulation

自振频率有限元计算值/Hz理论计算值规范计算值结果/Hz误差/%结果/Hz误差/%fw10．2280．2165．560．2165．56fc17．0467．0840．547．1881．98

由表3可知，本文计算的液体对流晃动基本频率和罐液耦联振动基本频率分别为0.228 Hz和7.046 Hz，和理论计算值与规范方法计算值都非常接近，最大误差仅为5.56%，都在工程允许范围之内，验证了本文所建立有限元分析模型的合理性。

3.3 考虑土结相互作用的罐体模态结果(满罐)

研究土结相互作用对罐液体系动力特性的影响。给出桩基场地上罐液体系自振频率和振型参与系数随阶数的变化情况，如图5所示。图6给出了桩基场地上罐液体系模态和刚性地基上体系模态的结果对比情况。表4给出了桩基场地上罐液体系模态和刚性地基上体系模态的计算结果。

图5 考虑土结相互作用时罐体自振频率和振型参与系数

图6 考虑与不考虑土结相互作用罐体自振频率对比

自振频率/HzGFTMPFTM第一阶液体晃动频率fw10．2280．226第一阶整体水平振动频率fSSI1⁃⁃⁃1．549第一阶罐液耦联振动频率fc17．0465．089第二阶罐液耦联振动频率fc213．887．174

可见，在考虑土与结构相互作用之后，液体晃动模态的振型参与系数明显变小，土层水平振动模态的振型参与系数最大，即此时体系主要表现为土体的振动形态。这是与刚性地基上储罐体系模态的一个明显变化。而且从图6可知，考虑土结相互作用之后，液体晃动振动的频段明显缩短，很快出现了土体的水平振动形态，如图7所示。并且罐液耦联振动频段由于土体的水平运动的带动作用而出现较早，从7.046 Hz变为5.089 Hz。

图7 考虑土结相互作用时土层第一阶水平振型图

这种考虑土结相互作用引起频率上的显著变化情况可以用图8更好地描述。可见，不考虑土结相互作用时，整体模型的振动频率主要分为液体晃动低频区和罐液耦联振动高频区两部分，两者处于不同的频率阶段。而考虑土结相互作用之后，土-罐-液体系的振动特性分为液体晃动低频区，土层水平振动中频区和罐液耦联振动高频区，且低、中、高三个区段明显。同时还发现，这三个频段的总长度基本和不考虑土结相互作用时的液体晃动的振动频段长度相当。这是考虑土与相互作用之后，体系动力特性的明显变化。

图8 考虑与不考虑土结相互作用自振频率分布情况

从图5和图8还可知，考虑土与结构相互作用之后，除了罐液耦联振动基频变小之外，还有一个明显的变化，在两阶明显的耦联振动振型(对应频率fc1和fc2)之间，出现了若干密集分布的罐液耦联振动的振型，(比如456阶5.154 Hz，469阶5.361 Hz，496阶6.21 Hz，517阶6.85 Hz)。根据根据模态振型云图发现，这些密集的耦联振动振型只是由罐底附近区域土体的振动引起，并非土层的整体振动，更加说明了土体对罐体模态的影响，土体的存在加剧了罐液体系的惯性效应。进一步观察还可以发现，考虑土体之后，第二阶耦联振动频率为7.174 Hz，与刚性地基上罐液第一阶耦联频率7.046 Hz相当，这进一步说明了地基土体的弹性效应对罐液耦联振动模态的影响，使得耦联振动频率减小。

图9给出了桩基场地有无罐液体系时的自振频率对比情况。进一步研究发现，罐液体系的存在对土层场地的水平振动频率影响很小，根据表4和表5，桩基场地上土层的水平振动频率为1.471 Hz，存在罐液体系之后，土层的水平振动频率为1.549 8 Hz，罐液体系的存在对土层水平振动频率的增加率仅为5.3%。从图9还可知，罐液耦联振动的基频和桩基场地上土层的水平第三阶振动频率比较接近(稍有增加)，这也说明了考虑土结相互作用之后罐液耦联振动的频率改变是由于土层水平振动模态中较大的振动所引起。

图9 考虑土结作用时和桩基场地体系自振频率对比

3.4 空罐时模态结果

储罐抗震研究时主要关注罐内充满液体时候的储罐动态响应，这里仅简要讨论一下考虑与不考虑土结相互作用时空罐的模态影响。将空罐模型GETM和PETM的前两阶环向多波振动和前两阶水平振动模态分析结果列于表5。其中不考虑土结相互作用的空罐第一阶多波振型和第一阶水平整体振型图，如图10所示。

表5 空罐模型的模态响应结果

可见，不考虑土结相互作用时，空罐结构的自振频率较高，这跟罐体自身刚性较大有关(见图10)。首先罐体上出现环向多波振动模态，且振动频率较为密集。这种多波振动是周向振动和竖向振动的叠加所致，对于第一阶多波振动，对应的周向波数为16，竖向波数为1。一般影响结构动力响应的主要模态为结构的整体振动模态。根据数值计算结果，空罐结构的第一阶水平振动频率达到33.31 Hz，该频率要远高于一般工程场地上记录的地震波的卓越频率。根据前面可知，由于场地土体的模态远小于刚性罐体的模态，因此考虑土结相互作用之后，模型主要表现为土体自身的振动模态。从表2和表5可知，桩基上空罐模型和桩基场地模型前两阶水平振动频率计算结果完全一致，也就是说空罐罐体结构相对于较大范围的土体结构而言，对土-罐体系的整体振动模态结果影响很小。

(a)第一阶多波振型(b)第一阶水平振型

图10 刚性地基空罐模型振型图

Fig.10 The first-order vibration pattern of GETM

3.5 进一步分析

根据前面结果可知，罐液耦联振动的基频受到场地土体的影响后有所减小。下面将通过子结构理论对考虑土罐结构相互作用之后模态变化的原因进行解释。按照子结构动力分析理论，当两个约束子结构串联成一个结构时，整体结构的基频或以某一子结构振动为主的整体结构基频不应高于两个子结构基频中最小值，而以另一子结构振动为主的整体结构频率不应低于两个子结构基频中最大值。对于本文研究，土-罐-液体系相当于刚性地基罐液体系和桩基承台场地两个子结构串联为一个整体结构，该整体结构的罐液耦联振动则以刚性地基罐液体系这一子结构振动为主。基于此，土-罐-液体系这一整体结构的罐液耦联振动基频为5.089 Hz，小于刚性地基罐液体系的罐液耦联振动基频7.046 Hz。另外，在罐液耦联振动模态出现之前，出现了土-罐-液体系的整体水平振动模态(沿x轴方向)，该频率为1.549 Hz，远小于罐液耦联振动频率5.089 Hz。根据前面桩基场地的模态计算结果，该模型的整体水平振动基频(沿x轴方向)为1.471 Hz。在这种情况下，该整体结构的振动以桩基承台场地这一子结构振动为主，因此出现了整体水平振动基频从1.471 Hz到1.549 Hz的变化。

在进行储罐地震响应分析时，需要选择合适的阻尼模型，其中瑞利阻尼作为刚度矩阵和质量矩阵的线性组合形式，简便易用，是土与结构相互作用体系动力计算中常用的阻尼模型。当采用瑞利阻尼矩阵时，在振型关于阻尼矩阵正交的假定下可以得到瑞利阻尼矩阵

[C]=α[M]+β[K]

(10)

式中：α和β分别为与质量和刚度成比例的阻尼常数；通过两阶特定的自振频率ωi、ωj和振型阻尼比ξi、ξj确定两个比例系数

(11)

(12)

关于阻尼模型系数中的两个频率选取，建议取多自由度体系的基频，另一个则在对动力反应有显著贡献的高阶振型中选取[13]。

根据前面可知，罐液体系的振动模态较为复杂，尤其考虑土结相互作用之后出现多个分区现象。而根据本文研究，液体晃动模态的振型参与系数相比罐液耦联振动较小，尤其是在考虑土结相互作用时，几乎可以不计。研究也表明[14-16]，液体晃动分量对罐体基底剪力和弯矩的影响很小，主要由罐液耦联振动引起的脉冲分量产生。因此在地震响应分析时可忽略液体晃动的影响，即不考虑液体晃动振型的参与贡献。因此，根据前面模态分析结果，当不考虑土与结构相互作用或者假定刚性地基时，可以选取振型参与系数较大的前两阶罐液耦联振动频率fc1和fc2。当考虑土结相互作用时，土层的水平振动对整个体系的影响很大，因此除了罐液耦联频率中振型参与最大的第一阶频率fc1外，还应该考虑土层的水平振动，即选取土体整体振动的基频fSSI1。而研究也表明，土体第一阶水平振动模态的振型参与系数最大。

罐液耦联振型对罐体的动力响应影响较大。当考虑土结相互作用的储罐结构在动力分析时，一般选择在基岩面输入地震波，此时处于5～8 Hz间的中高频成分较多。这和前面分析考虑土结相互作用时，前两阶罐液耦联振动频率较为接近(5.089 Hz和7.174 Hz)，而且这两阶振型之前由于土体的影响分布若干密集的耦联振动振型。因此考虑土结相互作用可能对结构的动力响应产生较大的影响，这也是考虑土结相互作用之后动力计算时需要注意的地方。

4 结 论

为研究土结相互作用对罐液体系动力特性的影响，本文基于ANSYS软件建立6个有限元分析模型，通过模态分析得到以下结论：

(1)考虑桩基承台的影响之后，土层场地的第一阶水平振动频率有所提高。空罐结构对土-罐体系模型几乎没有影响，主要表现为土体的水平振动模态。液体的晃动模态不受场地地基条件的影响。

(2)不考虑土结相互作用时，模型的频率主要为液体晃动低频区和罐液耦联振动高频区。考虑土结相互作用之后，出现液体对流晃动、土层水平振动和罐液耦联振动等高、中、低三个频率，且土层水平振动振型参与系数最大。在储罐动力分析时应考虑土结相互作用的影响，否则将会高估罐液耦联振动的频率。

(3)运用子结构理论对考虑土结相互作用时引起结构自振频率的变化进行了解释，并讨论了地震计算中罐液体系瑞利阻尼系数的选取。

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