同步坐标系下异步感应电机外转子弹性振动分析

王世宇， 夏 营， 孙文嘉， 王尧尧

(1. 天津大学 机械工程学院， 天津 300072； 2. 天津市非线性动力学与控制重点实验室， 天津 300072；3. 上海航天控制技术研究所， 上海 201109)

外转子异步电机以其结构紧凑和功率损耗小等优点广泛应用于冷却风机等领域。由于结构的特殊性，尤其是可产生显著弹性变形的外转子的应用，在旋转磁载荷作用下，更容易产生弹性振动和噪声。

针对异步电机的弹性转子振动问题，国内外学者已开展了深入研究。刘清等[1]建立了弹性转子的非线性动力学模型，探讨了系统受不平衡磁拉力作用时的主共振响应。Iwatsubo等[2]研究了三相异步电机转子的参激振动特性，并给出了振动不稳定判据。宁建荣等[3]采用解析法揭示了弹性转子的径向电磁力分布规律，并采用数值法给出了对比验证。Belmans等[4]利用Fourier级数建立了异步电机的弹性转子动力学模型。需要指出的是，现有研究均采用惯性坐标系，通常采用多尺度法[5]、摄动法[6]和Chebyshev多项式[7]等进行近似求解。事实上，还可以在磁场同步坐标系下研究弹性转子的振动稳定性问题。Canchi等[8]运用坐标变换原理研究了弹性环状结构的面内振动稳定性。Singh等[9]在磁场同步坐标系下求解了多相异步电机的力矩方程。Nelson等[10]在磁场随动坐标系下建立了异步电机的动力学模型，并分析了低转速下的稳定性问题。本质上，同步坐标系可消除电机时变参数的影响，有利于解决由移动载荷产生的动力稳定性问题。

采用Hamilton原理在磁场同步坐标系下建立异步感应电机的外转子横向振动模型，通过经典振动理论分析基本机电参数对系统动力稳定性的影响，并分别采用Floquét和Runge-Kutta方法计算不稳定域和响应，从而验证了解析结果的正确性。

1 动力学建模

1.1 坐标系建立

根据外转子感应电机的结构特征，可将转子简化为旋转薄壳状弹性结构。图1为异步电机的弹性外转子动力学模型。图1中，P(θ,t)为惯性坐标系下作用于转子表面的单位面积磁拉力，该磁拉力以磁场同步转速Ω(Ω=ω/p；ω为相电流频率；p为极对数)匀速旋转。o-rθ为惯性坐标系；uθ和vr分别为转子的切向和径向位移，该位移与空间角度θ和时间t有关；o-ρφ为磁场同步坐标系，该坐标系以磁场恒定转速Ω同步旋转，uφ和vρ分别为切向和径向位移。转子的转速、轴向厚度、径向宽度、中性圆半径、材料密度、弹性模量、切向和径向支撑刚度分别为Ωr、h、c、R、d、E、ku和kv。

图1 外转子异步感应电机转子坐标系

Fig.1 Coordinates frame of external rotor of asynchronous induction motor

1.2 数学建模

依据Hamilton原理建立磁场同步坐标系下转子的弹性动力学方程。转子的动能为

(1)

式中：A(A=ch)为截面积，且

转子的势能为

φ

(2)

式中：I(I=ch3/12)为主惯性矩，且

支撑势能为

φ

(3)

式中:ku和kv分别为切向和径向支撑刚度。转子截面上，单位面积的磁拉力为[11-12]

(4)

式中:μ0为真空磁导率;Fmax为最大磁动势，且

(5)

式中:N为线圈匝数；Im为相电流；m为相数；y1为定子节距；z为定子齿数；g为平均气隙长度。磁拉力做功可表示为

(6)

将式(4)、式(5)代入式(6)，可得

(1+cos 2pφ)dφ

(7)

根据Hamilton原理，有

(8)

(9)

cos 2pφ),

2 磁场同步坐标系分析

根据Galerkin方法，系统的一阶响应可表示为[13]

(10)

式中:n为波数；i为虚数单位，cc表示共轭。定义内积

(11)

式中：“～”为复共轭。将式(10)代入式(9)，并与einφ作内积可得

(12)

式中：

当波数与极对数不等时，系统将产生自由振动，可运用线性振动理论加以分析。本文重点研究波数与极对数相等时弹性转子的振动稳定性问题。假设ηj(t)=xj+iyj(j=1，2)，式中xj和yj均为实变量，则式(12)可改写为

(13)

式中:

×Y

(14)

式中:

(B-λI)Y=0

(15)

式中:λ为特征值。

当特征值的实部大于零且虚部为零时,系统将产生发散不稳定；当特征值的实部大于零且虚部互为相反数时，系统将处于颤振不稳定状态[14]。表1为感应电机外转子的基本参数。

表1 基本参数

根据式(15)可得旋转磁场的无量纲转速为2.0时特征值随机电参数的变化规律，如图2所示。图2中实线和虚线表示特征值的实部和虚部。图2(a)和图2(c)分别表示波数为2和3时，节距对特征值实、虚部的影响。根据不稳定性的判断依据，节距可周期性地导致发散不稳定。波数的改变可显著影响节距周期和不稳定区间。当波数为2时，周期为36，不稳定区间为(10.0，26.0)和(46.0，62.0)；当波数为3时，周期为24，不稳定区间为(5.0，19.0)、(29.0，43.0)和(53.0，67.0)。对于不同的振动波数，相电流对振动稳定性的影响规律，如图2(b)和图2(d)所示。波数不仅改变了不稳定区间，还影响了不稳定性质。当波数为2时，相电流可导致两种不稳定，其中发散不稳定区间为(48.5，87.5)，颤振不稳定区间为(136.0，200)；当波数为3时，相电流仅导致发散不稳定，不稳定区间为(94.8，200)。

(a)(b)

(c)(d)

图2 基本机电磁参数对稳定性的影响

Fig.2 Influence of basic mechanical-electromagnetic parameters on stability

3 惯性坐标系分析

引入坐标变换θ=φ+Ωt，式(12)可改写为

(16)

式中:

根据Floquét理论[15-16]，假设ξl=Al+iBl(l=1，2)，Al、Bl均为时间的实函数，式(16)可表示为

(17)

式中:

(18)

式中：

0和I分别为4×4阶零矩阵和单位阵。

图3描述了系统不稳定域的分布规律，其中图3(a)和图3(c)分别表示磁场同步坐标系下节距和相电流对不稳定域的影响；图3(b)和图3(d)分别描述了惯性坐标系下通过Floquét理论得到的不稳定域的分布规律。忽略计算精度的影响，两种坐标系下的结果基本一致，验证了磁场同步坐标系的正确性。此外，图3(a)和图3(b)表明节距可周期性地影响不稳定域的分布，该周期为36/n，当节距为72Y/n(Y为整数)时，系统处于恒稳定状态。图3(c)和图3(d)表明随着相电流的增加，电磁刚度逐渐增大，不稳定域逐渐变大，当相电流位于区间(0，146 A)时，不稳定域由两个分支构成，而当相电流>146 A时，系统将完全失稳。需要指出的是，当磁场的无量纲转速取值为2.0时(图中虚线标注位置)，不稳定的变化规律与图2一致，进一步验证了磁场同步坐标系下解析结果的正确性。

(a)(b)

(c)(d)

图3 基本机电磁参数对不稳定性的影响

Fig.3 Effect of basic mechanical-electromagnetic parameters on instability behaviors

为验证图2和3结果的正确性，本节求解了100 s内切向响应随节距和相电流等机电参数的变化规律，如图4所示。图中实线为随动坐标系下的解析响应，虚线为基于Runge-Kutta方法的惯性坐标系下的数值响应，忽略计算误差，两种方法得到的结果基本一致。在稳定区间，响应为趋近于零的直线，而在不稳定区间，响应显著大于零，与图2和3的结果一致。由图4(a)可知，节距周期性地影响切向响应，当节距为(36+72Y)/n(Y为整数)时，切向响应最大；由图4(b)可知，当相电流处于发散不稳定区间(48.5 A，87.5 A)时，响应的增长速度显著小于颤振不稳定区间(94.8 A，200 A)的响应。图4(c)和图4(d)描述了波数为3时，节距和相电流对切向响应的影响，经分析可得相似结论。

(a)(b)

(c)(d)

图4 切向响应随基本机电磁参数的变化规律

Fig.4 Tangential response versus basic mechanical-electromagnetic parameters

4 结 论

本文研究了异步感应电机的外转子弹性振动稳定性问题，揭示了基本机、电和磁参数对稳定性的影响。主要工作和结论如下：

(1) 采用能量法建立了磁场同步坐标系下异步感应电机的外转子弹性振动模型，并采用经典振动理论分析了动力稳定性问题。

(2) 根据所建动力学模型，计算了系统的特征值，揭示了动力稳定性与节距和相电流等基本机电参数的映射关系。

(3) 利用坐标变换得到了惯性坐标系下的参激振动模型，采用Floquét方法计算了不稳定域，该结果与解析结果一致。

(4) 采用Runge-Kutta方法计算了弹性外转子的切向响应，进一步验证了磁场同步坐标系下解析结果的正确性。

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