高中数学中集合与简易逻辑的相关问题

曹悦航

摘 要：集合与简易逻辑的关系是高中生需要掌握的重点问题，本文通过探索性问题、补集思想、数形结合、分类讨论等四个方面，探讨了高中数学中集合与简易逻辑的相关问题。首先是理解教材中的基本概念，对数学问题有一个本质上的了解，这样在解决问题的时候才会更为简要，本文通过相关的理论知识，分析了相关的集合例题，以期为广大高中生学习数学提供参考。

关键词：高中数学；集合；简易逻辑

集合与简易逻辑之间的关系作为学习数学知识最为基础性的一点，要想在之后的学习中得到更为充分的运用，就应该通过具体的例题，应用常见的数学思想来解决集合之间的相关问题。我们在数学课程的学习中，应该跟上教师的教学思路，努力提高自身的创新能力，通过掌握不同问题之间的潜在联系，促进自身的全面发展。

一、探索性问题

首先是探索性问题，在做题的时候，遇到某一道条件不是特别明确，且结论也不够清楚的问题时，应该对题目中的已知条件和相关信息进行适当的观察与判断，并从中探索与猜测出必要的条件。查看条件与最后的结论之间是否是相互成立的，例如已知的条件是 还有条件 ，如果题目的要求是要求得实数a的值？那么分别利用这两个条件，作为构造性命题，将其判定为“若A则B”，所构造的原命题就是真命题，对两个已知条件进行比较，可以发现，如果实数a选择为4时，那么A就为p，B就为q，所以对应的命题就是若p则q。从分析的过程中，可以知道解题的关键就在与要掌握两个命题之间的特征和关系，从而计算出实数的确定值。对于结果不明确的开放性探索题时，只需要找到某一个点，并说明这个结论是已经成立的即可。除此之外，在计算集合关系的时候，需要根据元素的性质，对题目中已知的各种信息进行统一化的收集和处理，从中探索出正确的答案。[1]

二、补集思想

对于部分结合问题，在解答的时候，如果仅仅从某一个角度出发，很难得到正确的答案。一方面是对这道题的解题思路不够明确，不知道该从哪个方面开始分离，另一方面是需要考虑到的客观因素过多，要对各个点进行全面的分析，计算的量多，无法提升解题效率。这时候，就可以使用“补集思想”进行解题，将复杂的数学题尽量简单化。例如在 小于且等于1的时候，m为何数时，方程x2-x+m=0没有实数根？假设将全集设置为R，一个集合中m是方程无实数根的取值，另一个集合中m是方程有实数根的取值，然后对方程进行变形处理，如果方程有实数根就得到m大于等于-2，且小于等于1/4.所以，最后得出的结果为m大于1/4或者是m小于-2，方程x2-x+m=0没有实数根。如果从正面求解，在 小于且等于1的时候，通过方程要得出m的取值范围，在这个过程中，如果不适当的对方程进行变形，设置全集，会加大整到题目的运算量。在分析这类型的数学题时，还可以通过二次函数的方式进行讨论，然后列出关系式，但是这需要更为深厚的数学基础，所以运用补集思想更为简单方便。

三、数形结合的方式

数形结合的方式，就是将抽象性的数学语言与直观的数学图形进行有效的结合，对数学问题中的已知条件进行分析，并且结合与代数相关的知识，在代数与几何的共同联系中，求得正确的答案。在解决数学问题的时候，常常会遇到一些比较直接的困难，这时候就需要根据问题的背景与条件，充分利用“数”的概念，解决和集合有关的运算式问题。集合A={（x，y）y=x+1，x，y∈R}，B={（x，y）y=ax+2，x，y∈R}，如果A∩B，求得实数a的值？首先可以根据题目中的已知条件，畫出相应的图形，如图1所示，在集合A中没有包含（2，3）的直线y=x+1，且集合B所表示的直线为m：y=ax+2.要分为两种情况，第一种是直线L与直线m相互平行的时候，如果A∩B，那么得到实数a为1。另一种是当直线m在经过点（2，3）的时候，如果A∩B，就会得到2a+2=3，实数a的值为1/2.集合中的图形语言都比较直观，所以通过这种直观性，运用概念和公式等方式，在集合性质的基础上，求得正确答案。

四、分类讨论的方式

在研究集合与简易逻辑之间的关系时，要根据数学对象的本质属性，找出其中的相同点与不同点，然后区分对象的不用，进行逐一的讨论，从而达到解决数学难题的目的。[2]例如在集合 ，对任意的一个实数x都是恒成立的，那么判断出下列关系中正确的是哪个？集合P不属于集合Q、集合Q不属于集合P、P∩Q等于空集。分析：首先要简化集合Q，然后求得m的取值范围，进行分类讨论，当mx2+4mx-4<0对于任何的实数x都是恒成立的。那么就可以分为两种情况，当m等于0时，与题意相互符合，另一种是当m不等于0时，解得的答案为m∈（-1，0]，因此，得到集合P是不属于集合Q。运用分类讨论的方式时，不能忽视m=0的情况。

五、结束语

数学集合作为高中数学的基础性知识，我们要掌握处理集合和简易逻辑之间的实际应用，通过对相关例题的分析，借助数字与图形之间的关系，对常见的问题进行分析。只有这样，才能正确的掌握集合的解题策略，提高自身的数学成绩。

参考文献：

[1]孙越.高中数学中集合学习的体会[J].科技风，2016（23）：40.

[1]李艳艳，黄卫华.离散数学与高中数学新课标中常用逻辑用语的衔接研究[J].文山学院学报，2014，27（06）：40-42.