直线与圆锥曲线的位置关系判断方法

周雪颖

摘 要：直线与圆锥曲线位置关系的判断是历年来高考考察的重难点，长以解答题的形式进行考查，以直线与圆锥曲线方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组进行求解，由于涉及的知识点范围广、运算十分繁冗复杂，需要学生具备较强的运算能力和数学逻辑思维，导致很多高中生对该部分内容学习望而生畏，为此，本文对直线与圆锥曲线位置关系的判断方法进行重点讨论，并在学习过程中总结了一些学习心得体会，以期能够为同学们的学习提供一定参考。

关键词：直线；圆锥曲线；位置关系；判断方法；学习重难点

直线与圆锥位置关系问题是高考解析几何重点考查内容，由于这部分知识不仅需要运用丰富的数学思想方法，而且涉及面广、运算量大、计算复杂，很多同学在学习过程中普遍感觉比较困难，为此，我们有必要对直线与圆锥曲线关系问题进行深入的研究，掌握一些常用的判断方法，理清问题求解思路，提高学习效率，从而为高考奠定良好的基础。

一、直线与圆锥曲线位置关系判断常用方法

在初中数学中我们学过，探讨直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离d和半径r的大小关系进行判断，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何的角度来分析，可以看做是直线与圆锥曲线有无公共点的问题，而从代数的角度来分析，可以联立直线l与椭圆曲线C的方程，将直线l的方程Ax+By+C=0带入曲线方程F（x，y）=0中，即：

消去变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程：

这样通过判断一元二次根的情况，讨论直线与圆锥曲线交点个数情况，进而根据交点个数来判断直线与圆锥曲线的位置关系。值得注意的是，当题目中没有给出直线l的方程时，我们在进行分类讨论时不要忽略直线斜率不存在的情况。

（1）当a=0，b=0时，直线l与圆锥曲线C没有公共点；

当a=0，b≠0时，直线l与圆锥曲线C有且仅有一个公共点；

其中，值得注意的是，当直线l和圆锥曲线C僅有一个公共点时，两者不一定相切。

（2）当a≠0，Δ>0时，直线l与圆锥曲线C相交，且有两个交点；

当a≠0，Δ=0时，直线l与圆锥曲线C相切，有一个交点；

当a≠0，Δ<0时，直线l与圆锥曲线C相离，没有交点。

二、直线与圆锥曲线位置关系相关问题总结分析

在学习直线与圆锥曲线位置关系这部分内容时，我们首先需要牢牢把握两者位置关系判断一些比较常用的方法，并在此基础上将直线与圆锥曲线位置关系题目中涉及的知识点进行合理的分类，认真做好学习笔记和错题记录，并学会分析题目中所蕴含的数学思想方法，积累一些常用的化简、变形的技巧和方法，进而提高自己的解题效率和正确率。

（一）直线与圆锥曲线有一个交点的问题

1.直线与椭圆曲线相切时，判断参数取值范围

例1：已知直线y=kx-1与椭圆 相切，则k，a之间的关系式？

解：由 ，得 。

因为直线与椭圆相切，所以： ，即

2.直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点；直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点。

（二）直线与圆锥曲线有两个交点的问题

1、弦长问题

直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是求弦长的问题，我们在解题过程中的一般思路是利用韦达定理法，将直线方程l带入圆锥曲线方程，消去y或x后，得到x或y的一元二次方程 ，再根据弦长公式 。其中， 可以直接利用公式 进行计算。而当斜率不存在时，可以求出交点坐标，直接利用轴上两点间距离公式进行计算。

2、中点弦问题

涉及弦的中点及直线的斜率问题时，假设直线与圆锥曲线相交于两点A（x1，y1）和B（x2，y2），弦AB的中点为P（x0，y0），然后可以考虑点差法，构造出x1+x2，y1+y2和斜率 ，运用整体带入的方法，求中点或斜率，从而体现设而不求的思想。重视中点坐标公式和韦达定理。

三、结语

综上所述，在判断直线与圆锥曲线位置关系时，我们首先考虑是的将其转化为直线与圆锥曲线方程组的交点个数的问题，然后对一元二次方程的根的情况进行判定，进而判断两者的位置关系。灵活的运用判别式和韦达定理，可以帮助我们快速的求解参数范围、几何极值、弦长等相关问题，同时还要巧妙的运用分类讨论、数形结合、方程思想、类比等数学思想，这样就可以有效的克服学习该内容的障碍，有利于提高解题效率和正确率。

参考文献：

[1]施贵军.直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用[J].中学生数学，2016（15）：4-5.