6杆并联机床典型位姿下的振动测试分析*

张 驰，朱为国，洪荣晶，阮 潇

(1.南京工业大学 机械与动力工程学院，南京 210009; 2.淮阴工学院 机械与材料工程学院，江苏 淮安 223001)

0 引言

随着机械加工向高速精密的方向发展，对机床的动力学特性有了越来越高的要求。尤其对于高速加工如果振动频率与机床的固有频率相近，将使机床发生共振严重影响加工的精度，甚至会损坏加工的刀具。所以在实际生产中要避免这种情况的发生。在机床用于实际加工之前对机床进行振动测试是了解机床动力学特性的重要一步。

对于并联机床的动力学特性分析是众多研究者研究的方向之一。韩清凯等[1]在论文“六杆并联机器人模态实验与动力学特性分析”中以并联机床在低速小幅运动到某位姿附近时可以以线性的方式处理。并以此进行了并联机床的模态分析，得到了较好的结果，但是仅仅做了试验模态分析。试验模态分析虽然可以准确的反映并联机床在典型位姿下的某些动态特性，但对于机床整体动态特性的反映不足。韩春胜等[2]在用有限元分析的方法对6-PUS并联机床进行动态特性分析得到了机床的整机动态特性，但只是做了有限元分析，结果的精确度有待思考。范培卿等[3]使用试验模态分析的方法对并联机床进行了模态分析及灵敏度的分析，利用灵敏度分析的方法得到了固有频率对节点质量和节点刚度的值，并依据得到的数值给出了改善机床振型的方法，但对于这些方法并没有经过试验的验证。由于试验的误差在试验得到结果之后应该依据试验的结果应用有限元分析技术对提出的方案进行模拟验证，以增加方案的可信度。以前的研究者[4-9]主要使用试验分析或有限元分析对机械结构进行分析，得到的数据虽然可以在一定程度上可以反映结构的固有特性，但是反映的不够全面。如果可以用有限元与试验相结合的方法，则可反映并联机床的整体振动特性。

本文是应用试验分析技术和有限元分析技术相结合的方法。首先对并联机床进行试验分析，应用功率谱分析的方法对时域信号进行分析，初步得到信号的频率成分。再应用试验模态分析技术对并联机床在典型位姿的模态进行分析。最后应用有限元分析技术对机床进行仿真分析得到模态数据。结合有限元软件中的响应面分析方法，找到机床的固有频率对哪些参数的灵敏度值较大，并依据这些灵敏度值得到有限元模型的修改方向，以使得有限元模型与实际的模型更加符合。用试验分析与有限元分析结合的方法可以更好的实现对并联机床整体特性的了解，并为并联机床的动力学优化设计提供必要的数据支持。

1 并联机床的振动测试分析

1.1 并联机床振动信号的功率谱分析

根据谢里阳等[10]在书中提到信号的时域反映了信号幅值随时间的变化特征。而频域分析是把时间域的各种动态信号通过傅里叶变换转换到频域进行分析，描述反映了信号的频率结构和各频率成分的幅值大小。时域与频域所描述的信号是等价的。信号的自相关函数与信号的自功率谱在数值变换上是对应的。根据石莉等[9]文章中提到的功率谱分析可以得到机械结构的频率构成，做出功率谱分析。

随机信号x(t)的自功率谱是该信号的自相关函数Rx(τ)的傅里叶变换，记作Sx(f)。

(1)

其逆变换为：

(2)

根据Paseval定理：在时域信号中的总能量应等于信号在频域信号中的总能量，即：

(3)

所以在整个时间轴上信号的平均功率为：

(4)

通过比较式(3)与式(4)，可得出自功率谱函数与幅值谱的关系为[10]：

(5)

通过式(5)可以看出自功率谱Sx(f)与幅值谱X(f)是相似的。但是自功率谱反映的是信号幅值谱的平方。所以在数值上比幅值谱的值更高也就更加的明显，本文通过对信号的功率谱分析得到信号在频域上的特征将比直接对信号进行傅里叶变换得到信号在频域上的特征更加明显，见图1～图3。

首先对机床进行试激励，得到机床在2000Hz之下有明显的峰值，所以设置采样频率为5120Hz，分析频率为2000Hz。对信号进行加窗处理，然后对所有的测试点进行激励并采集信号。

图1 部分测试点示意图

图2 第3测试点的激励

图3 第3测试点的响应

图4 第3测试点X方向的功率谱

图5 第3测试点Y方向的功率谱

图6 第3测试点Z方向的功率谱

从图4～图6中三个方向的功率谱曲线来看，三个方向的特征频率都集中在50～500Hz之间，虽然Y方向和Z方向有超过500Hz的特征频率但是对于机床来说影响它的性能的频率主要集中在低频段。所以高频段可以不予考虑。在进行并联机床的模态测试是应该将50～500Hz之间的特征频率重点关注。

1.2 并联机床的试验模态测试

模态是对机械结构固有振动特性的一种数学表达。试验模态测试是基于激励与响应的动态测试方法，通过实验模态分析可以很直观的了解机床的动力学特性，并为机床的动力学优化提供数据支持。

根据韩清凯[1]等在中得出的并联机器人在以低速小幅方式运动到某位姿附近时并联机器人可近似为稳态线性系统。其稳态方程为：

(6)

M,C,K,Q分别为当前位姿下机床结构的集中质量矩阵，阻尼系数矩阵，弹性刚度矩阵，广义力矩阵。q为模态坐标。根据实际机床的结构可将方程(6)由模态坐标变换到物理坐标。

所以此模态实验中将并联机床看作为稳态线性系统。

根据曹树谦[11]提到的对于具有粘性阻尼的n自由度系统振动微分方程：

(7)

式中，x为振动位移矩阵，C为粘性阻尼矩阵。在试验中将阻尼看作为Rayleigh阻尼。

设系统受到的激励为简谐激励：

f(t)=Fejωt

(8)

则系统的稳态响应为：

x=Xejωt

(9)

将式(8)及式(9)代入式(7)可得频响函数为：

(10)

将物理坐标系转换到模态坐标系中，就可以使方程解耦。并得到频响函数的模态展开式为：

(11)

式中，φi为第i阶振型。

由式(11)可以写成脉冲响应函数的频响函数展开式为：

(12)

式中，σi为第i阶模态的衰减系数，ωdi为阻尼固有频率。式(12)是识别系统模态参数的重要公式。

在试验模态分析中测试出某一测试点上所施加的力及响应，就可以利用式(11)或式(12)对机床进行模态参数的识别。

在本次模态测试中是使用单点拾振，多点激励的方式对并联机床进行模态识别。拾振点设置在机床动杆的最低点，激励位置设置在杆与动平台的铰接位置及各动杆上。在某固定位姿下分别记录激励点的值与响应点的值。由机床的振动响应信号通过式(12)拟合出机床的模态参数值。

依据对振动信号的功率谱分析可知信号在2000Hz以下有明显的峰值，所以设置采样频率为5120Hz，分析频率为2000Hz。对机床进行力锤激励，激励的力要适当，过大会激发出机床的非线性特性。对激励进行加力窗，对响应信号加指数窗。每一个点平均四次，测试机床的三个平动方向的模态参数。

由于对机械结构影响较大的固有频率参数为低阶频率参数，所以在本次测试试验中将仅拟合提取较低的频率。频率的提取如表1所示。

表1 试验测试出的并联机床频率

通过表1可以看出，模态分析所得出的固有频率值与通过功率谱得出的特征频率值是接近的，所以模态测试的结果是可信的。

2 并联机床的有限元分析

2.1 有限元分析过程

由于本次试验的硬件条件所限制，所以很难测试出并联机床的振动形式，对并联机床进行有限元分析可以更加直观的显示对应频率的模态振型，为并联机床的优化提供数据支持。根据韩春胜，孙皆宜[2]提到的并联机床关节设置方案，具体分析过程如下：

(1)对并联机床进行简化，先用Solid Works对机床进行建模，将不必要的细节部位进行忽略。

(2)定义材料属性，本次定义的材料为结构钢，密度是7850kg/m3，杨氏模量为200GPa，泊松比为0.3。

(3)定义各关节，根据机床的实际结构将动杆与静平台和动平台的关节定义为转动，由于在某一典型位姿下并联机床的电机都是锁死的，所以相应的关节定义为绑定。

(4)利用ANSYS Workbench的自动划分网格的功能设置网格的尺寸为40mm，计算并联机床的模态参数。在试验中不设阻尼，见图7。由于对机床影响较大的频率为机床的低阶模态，所以在此次分析中将提取前8阶模态。

图7 有限元模型及划分网格结果

2.2 模态分析结果

经有限元分析之后，提取并联机床前8阶模态，并根据有效质量对应试验模态与有限元分析的模态参数如表2所示。

表2 有限元分析及试验分析的频率

根据景银萍[4]等提出的误差不能超过5%可以发现，所做的有限元模态分析中有2阶模态的误差超过了5%，所以要对有限元模型进行修正。

由于并联机床的复杂性，盲目的修改会导致浪费大量的时间，本文结合景银萍[4]等修改缸盖所用的灵敏度的方法并假设结构为无阻尼系统。所谓灵敏度就是结构某些所关心的量对结构参数的偏导。则式(7)所对应的无阻尼自由振动方程为:

(13)

特征方程为：

(14)

对式(14)进行求导并令模态质量归一化得：

(15)

通过灵敏度分析可找出对固有频率影响较大的值。

对并联机床而言，机床的尺寸和形状与许多部位有配合。所以通过修改尺寸使有限元分析出的值与试验相符合是不可取的。所以本文选取材料的密度、杨氏模量、泊松比为修改参数，并进行各参数的灵敏度计算。

通过有限元分析可以得到修改参数对所选参数的灵敏度值。将第2阶，第4阶模态频率，第5阶模态频率选定为因变量，并将模型导入分析软件中，计算并联机床的模态频率对杨氏模量、泊松比、密度的灵敏度值分别为0.10013、0.0036、-0.10042，通过灵敏度值可以发现模态频率对杨氏模量和密度的灵敏度值较高，可以作为自变量。

选取第2阶、第4阶、第5阶模态频率为因变量，杨氏模量和材料密度为自变量。利用有限元分析软件中的优化模块对有限元模型进行优化。使因变量的误差小于5%。优化的结果是杨氏模量变为198.82GPa，密度变为：7224.60kg/m3，结果如表3所示。

表3 优化结果

从表3中可以看出通过优化使误差控制在了工程可接受的范围之内。

此并联机床的最大转动速度为6000r/min，其转动频率为100Hz。并联机床主要在4000r/min～6000r/min之间进行零件的加工，其转动频率是在67～100Hz之间。

3 结论

(1)此并联机床在低频段有较为集中的特征频率，振动时易产生频率的耦合。所以应对机床进行优化，使低频段的耦合度降低。

(2)通过试验分析和有限元优化结果可以看出，第2、3、4阶模态在工作频率范围的可能性是最大的。对于并联机床就比较危险，因为如果转动频率与机床的固有频率相近，就会产生共振。对于加工的影响就比较大，所以在机床优化设计时要让这些模态频率远离工作频率。

(3)根据有限元分析的结果可知，模态频率对杨氏模量和密度的灵敏度值较高，所以在进行有限元模型修改时以这两个参数为修改变量，将节约修改时间与修改量。且对这两个参数的灵敏度值为正负相反，说明修改增加杨氏模量将使模态频率增加而增加材料密度将使模态频率降低。通过有限元软件的优化使结果误差在可接受的范围之内，为进一步的分析并联机床的动态特性提供了数据支持。

(4)通过试验得到了并联机床的振动特性，又通过初步有限元分析得到了并联机床前8阶的模态频率。并提出了针对并联机床模型修改的方向，对接下来的机床的优化提供了数据的支持。

[参考文献]

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