基于Monte-Carlo模拟的可转债定价模型

朱妮洁

（南京理工大学理学院，南京210094）

引言

可转换债券是由公司发行，在一定时期内可按事先约定的条件转换成一定数量该公司发行的普通股股票的一种特殊公司债券。除了具有普通债券所具有的债券要素和自身的特定要素外，可转债还由一系列附属条款构成，是一种兼具期权性和债务性的中长期混合金融衍生产品。发行人通过组合不同的条款来适应自身的融资需求，也为投资者提供了具有差别化的产品。因此，对于这种灵活性的金融工具如何合理定价是目前研究的重点。

我国的可转债市场发展较为缓慢，虽然1992年发行了第一只“宝安转债”，但由于相关法律的缺失以及条款设计问题，造成首次尝试并不成功。此后经过多年的停滞，可转债市场在1997年才走上规范化发展的道路。

对于可转债定价的研究，最初只是利用现金流贴现法进行粗略估计，直到1977年，Ingersoll将公司价值作为基础资产通过考察其动态过程来确定可转债的合理价格水平，才出现了第一个真正合理的基于公司价值的单因子无套利定价模型。不久，该模型被扩展为基于公司价值和利率的双因素定价模型。虽然基于公司价值的模型在理论上非常具有吸引力，能够很好地结合信用风险结构化模型，但是由于并非所有公司资产都是可交易的，公司价值及其波动率等参数难以估计，因此实用性较差。Brennan和Schwartz（1986）将股价作为基础资产，开创性地提出了基于股价的单因子模型，很快也被扩展为基于股价和利率的双因子模型。由于股价可以直接获取，因此基于股价的研究更具有实用性，发展也较为迅速。目前将股价应用于可转债定价研究的方法主要分为两类：解析方法和数值方法，其中最为著名的解析方法就是Black-Scholes公式法，而数值方法则更为多样化，常用的有树方法、有限差分法以及Monte Carlo模拟法。我们知道，普通的蒙特卡洛模拟的方法能够有效考虑可转债条款中暗含的路径依赖特征，但无法处理美式期权的定价。随着Longstaff和Schwartz（2001）提出最小二乘蒙特卡洛模拟法，利用一组以状态变量为自变量的基函数来估计每个时点期权的存续价值，有效解决了美式期权的定价问题，而具有美式期权特性的可转债，提前转股的性质也同样适用于这种方法。本文在此基础上全面考虑可转债的各个条款及波动率和利率对可转债定价效果的影响，最终选用GARCH（1，1）模型估计波动率，并在实证中对3只可转债进行上市首日进行定价检验。

一、LSM可转债定价模型

（一）可转债最优行权策略分析

如今，我国市场上发行的可转债一般都附有大多相类似的回售、赎回以及转股价修正条款，这种条款的一致性有助于我们给出一个统一的定价模型，并检验其预测效果。有了基于LSM法美式期权定价的基础，可以将可转债的定价看作是美式期权加上其特有的回售、赎回以及转股价修正条款。

根据郑振龙、林海（2004）的研究，我们知道发行人的决策目的是为了使得投资者以尽可能高的转股价尽早实现转股，除非发生了触发回售权，面临回售压力的情况，否则发行人是不会主动调整转股价的，并且其调整转股价的幅度通常以不满足回售条款最低为限。而赎回条款则是发行人逼迫投资者实现转股设立的，在公司决定执行全部赎回时，发行人会发出赎回公告，提示投资者即将行使赎回权，通常会给定投资者一段时间，在这段时间内，投资者仍然有行使转股的权利直到赎回登记日，在赎回登记日次一交易日起所有在登记在册的可转债将全部被冻结。当这种情形发生时，如果投资者不进行转股，就只能获得条款中事先规定的赎回价，一般是票面价值上浮6%～8%加上本期应计利息，此时理性投资者必定会选择转股以获得远高于赎回价的收益。

综上分析，当股价过低而触发回售条款时，为避免投资者行使回售权发行公司必定会选择调整转股价，所以回售理论上将不会发生。此外，假设投资者都是理性的，在触发赎回条款时也都会选择有更高收益的转股，因此赎回权也是不会发生的。

（二）可转债的存续价值

在排除回售权和赎回权之后，发行公司和投资者的最优执行策略取决于存续价值，而基于LSM的可转债定价关键在于找到这个存续价值，这也是这个模拟算法的核心内容。存续价值的意义为现在时刻不执行任何选择权，继续保持债券的状态所能获得的回报。在任意时刻tk，根据无套利定价理论，可转债的存续价值F（ω；tk）可以在风险中性测度下用未来现金流贴现得到：

这里r（ω，t）是t时刻状态ω下的瞬时无风险利率，CFf（ω，tj；tk，T）表是在tk时刻之后执行选择权，所能获得的全部现金流。在给定一系列模拟的可转债价值路径后，我们可以直接求得其贴现现金流，关键任务是要得到在可获信息集基础上的条件期望价值。为此，这里主要依据Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘回归技术，通过逆推估计每条路径在各时点的条件期望存续价值，并与行权价值相比较，从而确定每条路径最优执行策略。

假设tk时刻可转债的存续价值可以被表示为将tk时刻可获信息与贴现的未来现金流相关的状态变量的一组基函数的线性组合。

其中，X表示tk时刻路径ω的状态变量，αi是常数系数，fi（X）是基函数。为了简化计算过程，效果最好且最常用的基函数为：

这里，Yt为t时刻相应的贴现现金流，St为t时刻标的股票价格。

（三）参数选取

1.股价波动率。基础股价波动率σt即为基础股价的变动的标准差，它反映的是股价未来变动的不确定性。高的股价波动率表示股价出现高价的机会越多，可转债中内嵌期权价值也将越大，可转债的价值就越高。

一般对于金融衍生品定价，股价波动率的估计方式主要有历史波动率和隐含波动率两种形式，考虑到我国金融市场尚不完善，所以无法使用隐含波动率法来估值。历史波动率则是由实际的历史数据计算得到的过去一段时间内的股价波动率，如此使用的常数波动率并不能很好地符合实际，由于我国可转债期限大多在3—6年，期限较长，且考虑到金融资产的收益率多数表现出波动聚类现象，所以本文选用GARCH（1，1）模型估计股价波动率。此外，GARCH模型的离散时间过程也能够很好地结合蒙特卡洛模拟。股价波动率的形式如下：

2.无风险利率。前人的研究表明，利率随机化对可转债定价效果影响并不明显，几乎可以忽略不计。因此，本文在对无风险利率进行估计时，并不再考虑利率的随机化，直接选用可转债上市前一日同期国债到期收益率作为无风险利率。

（四）LSM算法实现过程

设可转债期限为T，当前时刻为0，将期限以天为单位分为n段，具体实现步骤如下：

步骤1，利用GARCH（1，1）模型估计出股价波动率的随机过程。

步骤2，假设标的股票价格S遵循带有几何布朗运动干扰项的随机微分方程：

从确定的S0出发，使用蒙特卡洛法，对股市的未来走向进行模拟。

步骤3，在模拟的N路径中首先找出满足回售条件的，分析认为发行公司不会允许回售情况发生，所以若有路径出现触发回售情形，发行人会立即调整转股价格，使得回售不发生。

步骤4，在这些调整了转股价的M条路径中，找出触发赎回条款的路径n1条。分析认为触发赎回权时，理性投资者会选择转股，计算此时转股价值，再将其贴现到0时刻，取平均记为q1。

步骤5，寻找剩余未做转股价调整的路径中触发赎回的路径n2条，同步骤4，计算转股价值，再将其贴现到0时刻，取平均记为q2。

步骤6，在排除了条款的影响之后，剩下的路径就可以按照LSM美式期权定价的方法，寻找最优停时确定可转债价值。首先计算到期日可转债价值，当转股价值大于持有价值（T时刻为赎回价）就转股，因此到期日可转债价格可以表示为

其中，X表示转股价，P表示到期赎回价。同理，找出T－1时刻的转股价值大于持有价值的L条路径，并记它们的股价为Z，再将路径对应C（T）的贴现到T－1时刻，记为Y。此时，利用最小二乘回归，选取依赖变量Z、Z2回归Y，回归方程如下：

然后将Z代回上式，便求出T－1时刻的期望收益，即为我们估计的持有价值。将其与此时的转股价值相比较，决定是否转股或继续持有。若某条路径选择继续持有则它的转股价值设为0。重复这个步骤直到期初时刻，最后将非零的转股价格贴现到1时刻，取平均值为q3。

步骤7，求q1、q2和q3的负权均值，即为可转债的理论价值，数学表达式为

三、实证研究

（一）样本选取

截至2017年6月底，我国共有21只上市可转债，综合考虑发行时间长短及流动性等因素，选取了基本能代表我国可转债市场的3只可转债进行定价实证研究，其主要条款（如表1所示）。

（二）可转债定价分析

利用本文建立的基于最小二乘蒙特卡洛模拟的可转债定价方法，使用matlab编程实现模型计算过程，估计出所选取的3只可转债上市首日价格（见表2）。

表2 样本可转债的上市首日定价

用误差率来分析模型的定价精度，根据上表，求得这些可转债定价的误差率在10%以内，平均误差率为4.67%，按照95%的定价精度来考虑，本文的定价方法达到了95.33%，超过95%的水平，可以认为本文模型的定价结论是可信的。此外发现，定价的3只可转债价值都存在被市场低估的现象，探讨其原因，总结为三点：第一，可转债本身作为新型金融产品，在我国发展时间较短，投资者对其认知不足，使得其内在价值未被充分挖掘；第二，低迷的整体市场环境导致市场不看好发行公司股价的未来走势，低估了内嵌转换期权的价值；第三，使用不同的股价样本区间和不同的估计方法会得到不同的参数，从而造成定价误差，对计算结果产生影响。

结语

实证结果表明，本文的定价模型能够达到较高精度，具有一定的实践指导意义。通过定价模型对市场数据的检验发现，我国可转债存在价格被低估的现象。对于模型价格与市场价格存在的差距，原因可能是我们只在理论层面上分析了可转债的定价，主要是以标的股票的走向为重要指标，而没有从公司经营的层面上去分析可转债的价格变化。此外，对于交易费用、股票分红、信用风险、股权稀释等其他影响可转债价格的因素并没有考虑在本文中。因此，综合考虑各种因素以提高定价精度，是本文后续研究的方向。

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