非线性回归方程的求解与应用

2018-04-14江苏省白蒲高级中学顾晓莉

中学数学杂志 2018年7期

☉江苏省白蒲高级中学顾晓莉

在生活、生产等方面的实际应用问题中，其研究的两个变量可能呈现诸如反比例函数、幂函数、指数函数或对数函数等非线性关系，解决这个问题时，关键是如何确定函数f（x）或g（x）的具体形式，需要针对具体的数据进行分析，通过散点图和有关函数曲线知识，选取一个或几个合适的函数，然后通过观察变换数据的散点图、相关系数等确定一个合适的函数形式，达到非线性回归关系转化的目的.

一、非线性回归分析的基本步骤

非线性回归问题往往没有相应的经验公式，需要通过我们的经验加以转化与应用.根据已知相关的数据，画出散点图，把图形所对应的曲线与已经学过的各种基本初等函数（反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等）的图像作一比较，挑选一种与所作出的这些散点比较吻合的函数，通过适当的变量变换，把问题转化为线性回归来分析，使之得以解决.其一般的解题基本步骤如下：

二、非线性回归分析的应用

1.拟合函数的直接应用

例1 某个电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验数据可知，此后电压U随着时间t的变化的规律可以用公式U=Aebt（b＜0）来表示，现测得时间t（s）时的电压U（V）如下表：

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 10075 55 40 30 20 15 10 10 5 5

试求：电压U对时间t的回归方程.（提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题）

分析：结合题目条件，根据已知拟合函数，先对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题，通过解决线性回归方程后再加以转化.

解析：对U=Aebt两边取对数得lnU=lnA+bt.

令y=lnU，a=lnA，x=t，则y=a+bx，y与x的数据如下表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6

根据表中数据画出散点图，如图1所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性关系，由表中数据求得≈3.045，由公式计算得

图1

因此电压U对时间t的回归方程为Uˆ=e-0.313t·e4.61.

点评：对于解决非线性相关问题，可以通过相应的初等函数模型加以转化，建立与线性函数之间的对应关系，其目的是对具体的数学问题加以合理与正确的统计处理与数据分析.

（1）高职院校仍然沿用传统讲授式教学，由于高数课程的困难，很难构建讨论式、学生活动式、探究式、发现式课程体系。微积分难度较高，本科学生尚且望而生畏，清华大学的学生甚至都存在不感兴趣的情况，更不用说高职院校的学生了。（2）应试教育的评价方式让专业课程难以建立，高职高数课时相对知识体系较少，学生为了通过考试只能硬背题型，照葫芦画瓢，既不能宏观理解，也不能应用，在毕业以后也很少应用到高数。（3）教材脱离专业，枯燥繁琐，传统高数教材的特点就是虚，没有服从专业的内在需求，过度紧张的教学和功利化的倾向，加上学而不用，造成了高数学习的焦虑。