一类高考试题的平面几何视角

☉广东省珠海市第一中学 江云富

荷兰数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）曾说：“在认识现实世界与联系实际、使现实数学化方面，几何的作用是无法被替代的……借助眼睛、手等各种感观来接触空间形状，是一种最好的引导机会，它更有利于发现和创造……”现在高中数学虽然没有单纯的平面几何内容，但很多章节里都有着平面几何的背景，渗透着平面几何知识，在强调能力立意的高考数学试卷中，也有不少对几何直观能力考查的试题，在大力倡导培养创新型人才的今天，我们在教学中应该充分挖掘这类含平面几何背景的素材，着力引导学生发展逻辑推理、直观想象等数学核心素养.本文就这一问题从以下几个方面进行探究.

一、平面几何在立体几何中的运用

立体几何与平面几何有着天然的联系，在立体几何教学中应充分地利用平面几何性质来帮助研究图形的结构和位置关系，如果回避难点，一味地依赖空间坐标系和空间向量，会影响学生空间认知和直观想象能力，与课程目标相背离.事实上，很多时候结合平面几何知识，传统的几何法更简洁.

例1（2017年全国卷Ⅰ理科第18题）如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角APB-C的余弦值.

图1

图2

分析：在第（2）问中，很多学生根据第（1）问的结论和第（2）问的条件，会以AD的中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系来计算二面角，但平面几何知识告诉我们，△PAB是以PB为斜边的等腰直角三角形，△PBC是等边三角形（如图2），记PB中点为E，连接AE、CE，AE⊥PB，CE⊥PB，则∠AEC即为所求的二面角的平面角，并且易知△AEC的三边长，用余弦定理就会很快求解其值，比起用空间坐标系，显然要简洁很多.

二、平面几何在解析几何中的运用

解析几何的坐标法，借助坐标系，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形性质，在算法上是巨大的进步.然而学习解析几何最大的困难是计算量大而且非常复杂，学生常见的现象是算到一半就“望而却步”，或是算错.对于有些解析几何问题，如果先对图形作一些平面几何上的探究和处理，往往会找到简洁而明快的解题方法.

例2（2005年天津卷理科第20题）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图3所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=.试问：此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）.

图3

图4

分析与解：此题常规的方法是建立坐标系，写出点B、C的坐标和直线AP的方程，设出点P的坐标，借助斜率来计算∠BPC的正切值，再求此正切值的最大值，无疑计算量很大，最后正切值式子的最大值也不容易求.用平面几何中圆方法求解则很简单：以OA为x轴，OB为y轴，建立如图4所示的直角坐标系，则B（0，220），C（0，300），A（200，0），AP的方程为y=x-100，AP与y轴交于点D（0，-100），作圆经过点B、C且与直线AP相切，切点为P，此时除P点外直线AP上所有点都在圆外，用同弧上的圆周角相等的性质，可以证明圆外的点对弦BC的张角都小于∠BPC，所以切点P即为所求的点，根据切割线定理，DP2=DB·DC得DP=160，P点的纵坐标为60.

评注：解析几何问题中常见的距离和角度等几何元素，是容易用平面几何方法来处理的.

三、平面几何在解三角形中的运用

三角形是基本的几何图形，也是众多平面几何定理和性质的常用载体，很多解三角形的问题可以将平面几何知识和正弦定理、余弦定理等三角函数知识综合运用来求解.

例3（2015年新课标卷Ⅱ文科第17题）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.

分析与解：（Ⅰ）如图5，根据角平分线的几何性质，有再由正弦定理得

图5

（Ⅱ）因为BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC=3AC2，所以BC=AC＜AB⇒∠B＜∠C.于是∠B为锐角，所以∠B=30°.

评注：如第（Ⅰ）问中不用角平分线定理，则要在△ABD和△ACD中用正弦定理，显然要麻烦很多.

例4（2015年新课标卷Ⅰ理科第16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______.

分析与解：由平面几何知识知，四边形ABCD四个内角和为360°，∠A=∠B=∠C=75°，则∠D=135°，四边形ABCD的四个内角都为定值，BC边为定长，在这个前提下，只有AD边可以平行移动，如图6，延长CD与BA交于点E，考虑AD移动的两个极端位置，即D点与C点重合（此时A在G处），A点与E点重合，分别求出此时BG、BE的长，即可得到AB的取值范围

图6

评注：此题的得分率很低，部分原因就是思维局限于“解三角形”，而没有用平面几何知识去考虑问题.

四、平面几何在向量中的运用

平面向量有着深厚的平面几何背景，向量加法、减法和数量积运算本身就有几何意义的解释，尤其是三角形中的向量问题，和坐标法一样，几何法也是处理向量问题的常用方法.

例5 （2017年浙江卷第10题）如图7，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=O—→A·O—→B，I2=O—→B·，则（ ）.

图7

（A）I1＜I2＜I3（B）I1＜I3＜I2

（C）I3＜I1＜I2（D）I2＜I1＜I3

分析与解：本题如果用解三角形知识去严密求解，要先后辗转△ABC、△ACD、△BCD、△OCD等四个三角形，才能求出OB、OC、OD的长和∠COD的值，得到

但作为选择题，这样做太费时费力，根据图形进行直观想象，设四边形ABCD开始为边长为2的正方形，在∠ABC=90°和其他边长不变的前提下，慢慢伸长CD，这样即可看出∠AOB=∠COD＞90°，OA＜OC，OB＜OD，同样能得到结论，且直观简洁.

例6（2017年全国卷Ⅱ理科第12题）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）.

分析与解：如图8，设BC的中点为D，由向量加法的几何意义和平行四边形知识可知于是转而求的最小值，再设AD的中点为O，为定值，于是当时，P—最小，从而最小.用这种几何法显然比答案中建坐标系去计算要快很多.

→最小.用这种几何法显然比答案中建坐标系去计算要快很多.

图8

五、平面几何在数列中的运用

当数列中的项涉及几何图形中相关的量时，几何性质能帮助我们很好地厘清这些量之间的关系.

例7 （2016年浙江卷理科第6题）如图9，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示点P与点Q不重合）. 若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）.

图9

分析与解：设这个锐角的顶点为O，从解三角形的角度发现，△OAnBn的两边|OAn|，|OBn|均匀地递增，但两个内角∠OAnBn，∠OBnAn不断地改变，很难找到|AnBn|的变化规律，应该先考虑面积Sn，在△AnBnBn+1中，边|BnBn+1|为定值，高为|OAn|sin∠AnOBn，Sn=|OAn||BnBn+1|sin∠AnOBn，|BnBn+1|sin∠AnOBn为定值，|OAn|等差，所以{Sn}是等差数列.

六、平面几何在概率中的运用

概率中的几何概型常常要用到平面几何知识，也有些非几何概型但涉及几何图形，也考查了平面几何的基础知识.

例8 （2013年江西卷理科第18题）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O为起

点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图10）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

图10

（1）求小波参加学校合唱团的概率；

（2）求X的分布列和数学期望.

分析与解：本题利用几何图形对向量的数量积的几何意义作了细致的考查，从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有=28种，由图形分析可知，两向量数量积X的所有可能取值为-2，-1，0，1.

（1）X=0时，两向量垂直，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X=0）

（2）X=-2时，只有两向量均在对角线上且方向相反，共2种情形，-1时，有两类：两向量夹角为135°共有8种情形，两向量夹角为180°共有2种情形，P（X=-1）=；X=1时，两向量夹角为45°共有8种情形，P（X=1）=所以X的分布如下表：

X -2 -1 0 1 P 1 14 22 5 1 477

评注：此题两问都是向量数量积与平面几何知识的综合运用，尤其是第（2）问，要有很好的图形直观能力，只有对几何图形细致的观察，才能准确地计算各种情形的种数.

在培养学生严密逻辑推理、直观想象等能力方面，平面几何有着独特的、不可替代的作用.钱学森先生就认为，他严密的思想方法得益于中学阶段对平面几何的学习.上述例子表明，高中数学很多问题都涉及几何图形和几何方法，教学中我们应充分地挖掘数学问题中平面几何的育人价值，实实在在地在课堂教学中落实发展学生的数学核心素养.

参考文献：

1.王世强.几位前辈学者对平面几何的看法［J］.中学数学杂志，2013（4）.

2.陈婷，田丽娜，詹紫浪，傅种孙.《高中平面几何讲义》之考察［J］.数学教学研究，2012（8）.

3.中华人民共和国教育部.关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见［M］.教基二［2014］4号.F