2017年高考“数列”试题（理科卷）分析与启示*

☉南昌师范学院数学与计算机科学系 孙庆括 刘 山

数列作为高中数学中的重要内容之一，是考查学生逻辑思维和演绎推理能力的重要载体，在历年各个省市的高考数学试卷中都占有相当重要的地位.另外，数列作为一种特殊的离散函数，同时又是初等数学和高等数学的衔接点，既有相对的独立性也具有其较强的综合性，不但试题灵活，而且解题思想和方法多样化，故这类题目往往很难把握.因此，如何抓住数列命题的一般趋势，剖析其本质规律，成为了师生们研究的重点.通过对2017年各地高考理科数学试卷中的数列试题的特征分析，笔者给出一些教师教学和考生复习的建议.

一、试题特征分析

数列在2017年全国高考理科数学卷Ⅰ（安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南）、卷Ⅱ（甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、重庆、陕西、海南）和卷Ⅲ（云南、四川、广西、贵州）及6套自主命题的北京、江苏、浙江、上海、天津、山东卷中都有考查.为了更直接地体会全国各地高考数学理科试卷中的数列试题，按类别列出下表（见表1），并总结出数列试题的一些考查特征：

第一，从知识点的题型分布来看，数列多出现在选择题和填空题中，以考查基础知识和基本运算为主，几乎每一套试卷都考查了等差或等比数列的通项公式与求和公式知识.同时，包括压轴题在内的解答题中也出现了数列，在考查数列基础知识的基础上还考查了数列与函数、不等式、导数、常用逻辑用语等交叉融合性知识，如北京卷、浙江卷和上海卷.可喜的是，2017年的试题在保留选择题和填空题的考查题型的基础上，还开创了新定义题和数学文化背景题，这是一大亮点.

表1 2017年全国高考理科数学数列试题考查特征统计

第二，从考查的数学思想方法角度看，重点考查了错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、递推法、分组求和法、放缩法等数学思想方法，如全国卷Ⅰ第12题，全国卷Ⅱ第15题，全国卷Ⅲ第14题，天津卷第18题和山东卷第19题.

第三，从分值来看，不同省份的试卷对数列的考查分值有所差异，从总体上看数列题普遍占2道，在选择题、填空题和解答题中都有分布，分值在9分与21分之间.进一步，天津卷和山东卷均仅以一道解答题的形式呈现，分值分别为13分和12分.

第四，从试题难度来看，除全国卷Ⅰ第12题以外，所有试卷的选择题、填空题都是常规题且难度不大，都可以用解决等差和等比数列的公式法来解决，一些考查等差和等比数列的解答题也是如此.但是被放在了压轴位置的数列题，难度较大，对学生逻辑思维和分析及解决问题的能力要求较高.

二、试题赏析与评析

（一）考查等差与等比数列通项及求和公式等基础知识

通项公式与求和公式作为数列的基础知识，基本为必考内容，在各套试卷中均有涉及，难度不大.

例1（2017年全国卷Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为

评析：本题考查等差数列的通项及求和公式和裂项相消法的应用，难度适中.先利用等差数列的通项公式与求和公式求出前n项和Sn，得到

例2（2017年江苏卷）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知

评析：本题意在考查对等比数列通项公式的运用能力，但并不一定用到求和公式，可根据S6-S3=14，求出q=2和a1=4，代入等比数列通项公式，即得a8=32.这种“设而不求，整体代入”的数学思想，大大减少了计算量，类似地还有2017年上海卷第10题.进一步，对等比数列或等差数列的求和的考查，可以是直接考查求和公式，也可以是结合通项公式来考查，如全国卷Ⅲ第9题.总体上看，难度适中，个别偏难.

例3（2017年全国卷Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.

A.440 B.330 C.220 D.110

评析：本题是全国卷Ⅰ选择题的压轴题，对学生的综合分析问题的能力要求较高，意在通过实际生活背景考查分组求和法和等比求和公式的运用，关注到k，m的取值范围和确定2k+2m-k-2取值范围是解题关键.把数列的项分为k组，共有项.设数列第N项是第k组的第m项，则有k≥14，可得N项和为2k+2m-k-2.由1≤m≤k和k≥14，可得2k-1＜2k+2m-k-2＜2k+1，故2k+2m-k-2=2k.进而对m≥4逐个代入，发现只有当m≥5时才满足N＞100，因此m=5，k=30时，最小整数此题作为选择题，用排除法较为简洁.

（二）考查数列与函数、不等式等交汇知识

数列与函数、不等式的综合也是高考常考内容，主要运用构造函数思想、函数的性质（特别是单调性）及不等式证明的技巧和方法等知识解题，要求学生具有深厚较强的知识迁移和逻辑推理能力，其难度往往较大.

例4 （2017年浙江卷）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）.证明：当n∈N*时，

（1）0＜xn+1＜xn；

评析：本题是一道非常典型的用构造函数的方法来解决数列问题的考题，考查学生对函数和导数知识的综合运用能力，难度较大.第（1）问先构造函数（fx）=x+ln（1+x），x＞0，再根据它的递增性并结合题目所给的递推关系式来完成证明.第（2）问构造函数g（x）=［x+ln（1+然后运用导数知识判断其单调性从而得出g（x）＞g（0）=0，于是就有2xn+1-xn=xn+1-ln（1+第（3）问利用第（2）问的结论得到x之后，再根据函数h（x）=x-ln（1+x）＞0得出2xn+1＞xn，通过递推即得

例5（2017年北京卷）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann}，其中{x1，x2，…xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中的最大的数.

（1）若an=n，bn=2n-1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；

（2）证明：或者对于任意正数M，存在正整数m，当n≥m时；或者存在正整数m，使得c，c，c，…mm+1m+2是等差数列.

评析：本题考查数列与不等式的综合知识，难度较大.第（1）问根据{cn}的通项形式来证明它是等差数列，理解到{cn}的定义并求出通项是解题的关键.分别求得a1=1，a2=2，a3=3且b1=1，b2=3，b3=5，代入得c1，c2，c3的值，由（bk-akn）-（b1-a1n）≤0，得b1-na1≥bk-nak，则cn=b1-a1·n=1-n，于是cn+1-cn=-1（n≥2）.又因为c2-c1=-1，故{cn}是等差数列.第（2）问考查“放缩法”在数列不等式证明中的应用，涉及分类讨论及转化思想.设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，由bi-ai·n=［b1+（i-1）d2］-［a1+（i-1）d1］·n=（b1-a1n）+（i-1）（d2-d1n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0这三种情况.①当d1=0时，对d2＞0和d2≤0分别进行分析，由等差数列性质，可得存在m使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；②当d1＞0时，-d1·n+d2为一个关于n的一次项系数为负的一次函数，所以必然存在m使cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；③当d1＜0，-d1·n+d2为一个关于n的一次项系数为正一次函数，此时根据上述的分析可0，B=d1-a1+d2，C=b1-d2）.对C≥0和c＜0这两种情况进行讨论，采用“放缩法”即可证明对于任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，有

（三）借助新定义题彰显创新能力

例6（2017年江苏卷）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”.

（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列.

评析：借助新定义数列创新题来考查常用数列的相关概念和性质，近几年备受命题者的青睐.本题给出了P（k）数列的定义，第（1）问要判断等差数列是否为P（k）数列，考生只需运用等差数列的重要性质：an-1+an+1=2an，即可完成证明.因为an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=（an-3+an+3）+（an-2+an+2）+（an-1+an+1）=6an=2·3an，即{an}是“P（3）数列”.而第（2）问要证明它是等差数列，同样是运用等差数列等差中项性质来证明.因为an-2+an-1+an+1+an+2=4an（n＞2，n∈N*），则an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an（n＞2，n∈N*），即有4an-1+4an+1=8an，故有an-1+an+1=2an，即{an}是等差数列.

（四）融入数学文化彰显数学素养

例7（2017年全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.

（A）1盏 （B）3盏 （C）5盏 （D）9盏

评析：2017年高考考试大纲增加了“数学文化”的要求，并且《普通高中数学课程标准》也强调了数学文化在数学教学中的重要性.本题是引用我国古代数学名著《算法统宗》中的内容来考查等比数列的求和公式，理解题意是解题的关键，因此，平时要鼓励学生阅读像《九章算术》《数书九章》等高考数学文化出题率较高的我国古代著名的数学文献白话翻译本及中外数学历史名题等著作，如沈康生《历史数学名题赏析》等.设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由求和公式=381，得x=3，故答案选B.

三、启示与思考

（一）紧扣考试大纲，夯实基础

一方面，无论教师教学还是学生复习，都要以课标为基础，围绕教科书，紧扣考纲，对重点内容，如等差、等比数列相关概念的性质、求公差和公比、通项公式、求前n项和等进行重点复习，夯实基础知识.同时，注重如错位相减法、裂项相消法等常用各类数学思想方法的教学渗透和学习，重点加强观察、分析、归纳、猜想、推理论证能力的培养和运算能力的强化训练.另一方面，关注数学文化与数列试题的融合.2017年高考数学考纲把“数学文化”作为单独的一个模块列了出来，理应受到重视.殊不知，数学文化试题不仅包括显性的数学文化背景题，还包括隐性数学历史名题，后者可能是未来高考数学文化数列试题的重点.因此，教师上课时要有意识地对教科书中出现的数学文化素材或历史名题进行拓展改编，比如根据布罗卡点的基本性质，就可以结合等比数列等知识拓展许多变式问题.

（二）注重数列与交汇知识的综合性复习

2017年高考数学试卷中数列试题大多都是与其他数学知识相关联而命题的，体现了知识之间的融合性.因此，一方面，教师要创设多种途径，如用思维导图、专题讲座等形式不断沟通数列与集合、三角函数、二次函数、指对幂函数、三角形边角关系、导数、不等式、极限、平面几何、解析几何等知识之间的联系，通过例题、习题、检测等方式来强化数学知识之间的相互联系.另一方面，考生要善于厘清知识间的交汇点，注重多个知识点的综合题的训练与解题方法的积累.如数列与函数、不等式结合问题，它综合了函数性质、导数、数列、不等式、数学归纳法等方面的知识与方法，对考生综合运用知识分析问题、解决问题的能力有较高的要求，对高分学生有很好的区分度，因而考生要以数列为背景的不等式的证明问题以及以函数为背景构造数列的高考压轴题的训练.

（三）注意高等数学与中学数学的衔接教学

“高观点”是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法.由于高考的选择功能，这类题往往备受命题者青睐.因此，教师在平时教学中要有意识地培养学生的“高观点”意识，可以适当的进行一些“高观点”数列专题教学.比如关于数列通项公式的求法，除了常规的求法之外，可以适当讲授一些高等数学的导数法和母函数法.对于递推数列的通项公式求法，就可以讲授齐次线性递推数列的特征方程法.同时，讲授一些特殊的新数列，像斐波那契数列、周期数列、阶差数列等也是十分必要的.

参考文献：

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