围绕核心，智慧生成——数学“题族教学”的实践与思考

☉江苏省扬州市汤汪中学 宫 明

智慧数学的创立者陈士文先生认为，当我们遇到一个数学问题时，给这个数学问题起名为“本题”，解答完“本题”后，我们接着想：“本题”是从哪演变而来的，它的祖先是谁？也就是寻找“本题”的“祖题”.追根溯源，解答完“祖题”，我们再继续想和“本题”相似相关的题目是什么？并给和“本题”相似又相关的题目起名为“胞题”（如同胞兄弟，相通而又相异）.解答完“祖题”、“胞题”，知道了问题从何处来，同类的问题是哪些？那问题又将往何处去呢？“本题”还能衍生出什么新问题呢？由“本题”再到“子题”.在此，笔者把“本题”、“祖题”、“胞题”、“子题”的教学过程简称为“题族教学”，以陈士文先生所编著的《智慧数学——从知识走向智慧》一书中《三角形角平分线的夹角计算》一讲为例，阐明“题族教学”的实践与思考.

一、本题呈现

本题 （1）如图1，BD、CD是∠ABC和∠ACB的平分线且相交于点D，试说明∠D与∠A的数量关系；

（2）如图2，BD、CD是∠CBE和∠BCF的平分线且相交于点D，试说明∠D与∠A的数量关系；

（3）如图3，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，它们相交于点D，试说明∠D与∠A的数量关系.

图1

图2

图3

本题中呈现了三角形角平分线夹角计算的3种解题模型，为了便于学生记忆，可以归纳为“内加外减内外分”“.内加”是指两条内角平分线的夹角为90°+“外减”是指两条外角平分线的夹角为90°-内外分”是指一条内角平分线和一条外角平分线的夹角为.对这些解题模型的理解能较好地提高学生的识图能力.

本题的教学思考：本题主要给学生呈现解题模型、典型例题、公式推论等需要积累的知识，以便学生遇到新问题可以展开联想.这些需要积累的知识，从心理学角度说就是一种图式，头脑里图式储存的多少也是判断数学水平的标准之一.据说国际象棋冠军头脑里储存着几万个棋局，因此他能够面对复杂局面迅速作出反应.

二、祖题追溯

祖题 如图4，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=______°；（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=______°；

（3）若∠A=76°，则∠BOC=______°.

追溯本题的由来，祖题以两条内角平分线的夹角计算为例，第（1）小问已知两个内角度数求解，第（2）小问已知两个内角度数和求解，第（3）小问已知一个内角度数求解.在解答祖题的过程中，让学生经历结论的形成过程，渗透从特殊到一般的数学思想.

祖题的教学思考：祖题是对本题本质的追溯，它不是一堆题目中单一的个体，它是一个题族变式和衍生的根祖.在教学中，遇到固定程式的题，如解一元一次方程，祖题要体现有效的算法，指导学生按部就班地完成；遇到没有固定程式的题，如几何证明题，祖题应总结出一些规律，指导学生先考虑什么，再用什么方法，使之有方向可以探寻，让解题经验显性化.

图4

三、胞题变式

胞题 如图5，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ，则：

（1）∠A1=______；

（2）∠An=______.

图5

胞题呈现给学生的是解题模型的n次应用，学生可以定性地感觉到当n无限大时，∠An的度数接近于0°，但绝不能为0°；在定量计算时，极限思想的无穷概念将会在学生的脑海产生朦胧的定义，使学生在头脑中初步萌生出极限的概念.

胞题的教学思考：孔凡哲教授认为，人的认知形成与发展是一种建构过程，是通过不断建立图式，进行同化及顺应，最后达到平衡的过程中实现的.“题族教学”中的本题是图式，而胞题则为图式的同化、顺应及平衡奠定了坚实的基础.由本题变式出的一系列胞题，实现对本题中的解题模型有机的串联，既能覆盖解题模型的诸多方面，又有助于理解本质和关键.胞题变更本题中的非本质属性，即变换条件和结论，转换形式或内容，配置应用环境或背景，让学生体会到，不管怎么变化，原来万变不离其宗.胞题为学生的思维发展提供了一个个阶梯，循序渐进而不重复，有利于学生构建完整合理的知识结构.

四、子题衍生

子题 如图6，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，BE是∠ABN的平分线，射线BE的反向延长线与∠BAO的平分线AC相交于点C.当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问∠C的大小是否发生变化？如果不变，请求出∠C的度数；如果∠C的大小随点A、B的移动而发生变化，请求出∠C的度数的变化范围.

图6

子题的教学思考：数学教育方法的核心是学生的“再创造”，子题为学生的“再创造”提供了平台.动态思想的渗透衍生出子题，与本题属性有着很较大的区别，需要学生能够在诸多条件中提炼出本质特征，它有别于“就题论题”的胞题变式，是对本题的拓展.在子题教学中，我们要“有意无意”地外显子题的衍生过程和方法，让学生能知道子题是如何形成的，与之前的本题之间有着怎样的联系.

在中考、高考竞争日益激烈的今日，很多学生面对着老师、家长布置的教辅材料，整日陷在题海之中不能自拔，学习过程是被动的、机械的、低效的.题海中存在大量的简单重复，如让学生不加选择地完成任务，没有能理解题目的来龙去脉，数学能力也很难有提升.“题族教学”由本题开始，再向学生提出祖题、胞题、子题这3个问题.尝试追问问题的本原，尝试寻找问题的变式，尝试创生问题的未来，使学生达到“解一题，通一类”的教学目标，学生得到的不仅仅是数学成绩的提高，更主要的是可以从知识到问题，由问题生智慧，结构化，问题串，创变中……从知识走向智慧.

参考文献：

1.陈士文.“智慧数学”的内涵及特质［J］.江苏教育，2011（4）.

2.石树伟.回归本色：从导学案到导学笔记的实践与思考［J］.中学数学（下），2015（1）.

3.陈永明.数学习题教学研究［M］.上海：上海教育出版社，2014.F