对一道椭圆习题的深入思考与探究

☉江苏省淮州中学 杨 帆

笔者最近做过一道习题，然后，从审题与解法角度、数学的运算方式与运算技巧的角度进行了一些深入思考，对习题做了条件拓宽、结论推广和类比联想，现分享给各位读者，希望能对各位读者有所启发.

一、习题及其解法

（一）习题再现

（1）求椭圆的标准方程；

图1

（二）分析与解

由P的横坐标可得P的坐标，带入椭圆方程，联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0得到a，b关系，进一步求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求.下面着重分析问题（2）.

分析1：设直线AB方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得k，m的关系，求出原点O到直线AB的距离，把△AOB的面积化为含有k的函数，然后利用换元法求得最值.

解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+m，联立（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-3）=0.

综合上述，△AOB的面积的最大值为3.

点评：本题第（2）小问的解法思路比较直观，体现函数思想.但是计算特别烦琐，尤其换元更不容易想到，一般难以完成.

分析2：此题第（2）问是求最值类的问题，而求最值类的问题有时便捷的方法是利用基本不等式求解.

解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+m，

又Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-3）=16（12k2+3-m2）＞0，得m2＜12k2+3.

综合上述，△AOB的面积的最大值为3.

分析3：处理解析几何计算时，可以采用“设而不求”法，为了简便计算，点A，B的坐标设为参数形式.解题过程如下：

解法3：设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线OB：x2y-y2x=0，

二、解后反思

思考（一） 解法与审题思考

题目怎么做，用什么方法做？关键取决于如何审题，从什么角度审题，将问题归结为什么题型，进而选择不同的解题方法.审题的角度很多，但是最常见审题角度之一就是从题目的问分析，将问题归类，也会从所考查的知识角度分析，将问题归类.每一类题型可能还有多种方法，可以结合每个具体题目条件的特殊性而选择不同的解法解题.

这个题目的第（2）问，解法1就是从问的角度审题是求最值类问题，而求最值类问题最常用的方法是函数法.解法2又注意到求最值有一种比较重要简洁的方法是基本不等式法，进而简化了运算.从所考查的知识角度分析看这个题目研究的是直线与圆锥曲线问题，处理这类问题常见有“Δ”法和“设而不求”两种方法，解法1和解法2是用“Δ”法，解法3是用“设而不求”法.

思考（二） 把题干条件适当放宽，结论仍然成立

由思考（二）知，当直线AB的斜率存在时，△AOB面积取最大值时，

思考（三） 把问题推广为一般形式

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，

得（b2+a2k2）x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0，

Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（m2a2-a2b2）=4a2b（2k2a2+b2-m2）.

当m2=b2+a2k2-m2，即m2=时，等号成立.

命题1：点A、B为椭圆C：=1（a＞b＞0）上两动

命题2：四边形ABCD为椭圆C：内接平行四边形，则平行四边形ABCD面积的最大值为2ab（.仿照思考二或思考四可以证明）

证明：设A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），仿解法3知，△AOB的面积时，△AOB的面积的最大值此时A、B两点的离心

又平行四边形ABCD的面积S=4S△OAB，所以平行四边形ABCD的面积的最大值为2ab.

思考（五） 对问题的变式思考

图2

（2）当c

思考（六） 对上述结论类比联想

将上面椭圆问题改为圆，则有下面的结论：

1.若长度为（tt∈（0，2R））的线段AB是半径为R的圆O上两点，则△AOB的面积S为定值

2.点A、B是半径为R的圆O上两动点，则△AOB的面积S的最大值为（此时，△AOB为等腰直角三角形）.

3.若ABCD半径为R的圆O的内接四边形，则四边形ABCD的面积的最大值为R（2此时，矩形ABCD为正方形）.

高中数学对计算能力要求很高，不仅是解析几何问题，如果能注意审题，选择合适运算方式与运算技巧可能会减少计算量.当然也要学会对遇到的问题作深入思考和类比推广联想，这样，不仅可以加深对所学习的知识理解与掌握，更能提升思维训练的深度和广度，培养创新性的思维.J