论课堂教学中师生讨论的重要性

☉陕西省西安市华山中学 张永全

众所周知，课程改革已历经数轮，但是课堂教学的效果却并没有显著提升.这种教学理念和教学实践的相差是有一定的原因的.从应试的层面来说，大量的题型教学占用了教学时间，缺乏思考的教学导致了数学教学总是循环在“赶时间”的过程中；从知识的理解层面来说，灌输式教学依旧在课堂教学中是主体的情形下，很多学生对于自己为什么错一知半解，造成其听懂教师的讲解，而后续依旧在错误的道路上愈走愈远.要解决这样的懂而不会，我们的课堂教学要做如何的转变呢？

第一，首先是理念的转变，要研究教学导向和考试大纲，教学陷入无穷无尽的题海恰恰是教师对考试方向迷茫的一种表现；第二，要转变课堂教学理念，教师满堂灌的效果其实是低下的，大量心理学研究表明，学生在四十五分钟的课堂教学中注意力集中阶段不过二十五分钟，因此满堂灌的教学早已经不适合当下教学，亟需教师想方设法改变课堂教学.

一、从讨论中解决错误

学生懂而不会是高中数学一个非常普遍的现象，不少文献资料都有大量的研究.但是从根本上来说，这些研究并没有解决最核心的问题，学生懂而不会如何去解决？其实是一个很简单的道理：学生没有从自身的错误中获取错误的原因，因此也没有能够接受更好的解题方法带来的新视角，或者换一个角度说，学生头脑中的直觉思维影响着其解题的基本步骤和途径，如何扭转这种下意识的的操作，正是需要从这种下意识的操作中去发现问题、解决问题，从而从内心深处获得新方法的重要性认知才是关键.

例1已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范围.

（1）+（2），得0≤2a≤4，即0≤4a≤8.

（2）×（-1），得-1≤c-a≤1. （3）

（1）+（3），得0≤2c≤4，故而代入f（2）=4a+2c，得0≤f（2）≤12.

分析：上述的错解是初学者易出错的主要方法，不少学生在糊里糊涂中被告知不能使用这样的方式求解，但是后续遇到类似的问题其依旧使用这样的方法，错误依旧不断.主要原因是：第一，学生没有从错误中获得错误的原因所在，这导致其脑海中遇到类似问题依旧是下意识的错误处理；第二，没有足够的理解自然没有足够的思考，没有足够的思考是因为教学是灌输式的，若以讨论为手段，自然能让更多的学生理解错误所在，从而解决更多学生不犯类似的错误.

师：错误的原因在哪里？请同学们想一想.

生1：我反过来进行了检验，发现还真的是不对的，0≤4a≤8以及0≤2c≤4，可得f（2）=4a+2c的范围是0≤f（2）≤12，但是a和c同时取零显然不满足题意，a和c同时取2也显然不满足题意，从结果上来说已经有错误了，但这个错解的过程我还没有发现为什么有问题.

师：很好，问题的原因是什么？

生2：应该是不等价的转化！

师：请详细说明.

生2：这个问题让我想起了函数与方程中的一个问题，我们知道两根都大于0的充要条件，即两根都大于1的充要条件，并不是，举个特例，很1显然满足不等式组根并非都大于1！

师：例子举得非常到位，这说明什么？

生3：这说明只有是等价的变化才是恰当的，放大的变化自然不可能对应正确的解集.

师：请给出合理的正解.

生4：f（2）=4a+2c=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而两式相加可得2≤f（2）≤10.

师：为什么这样的解答就行得通呢？

生4：因为避开了单个量a和c的求解，就不存在将变量范围私自扩大的可能性，以整体性介入，避免了单量的错误，从而正确解决问题.

生5：这样的描述显得比较抽象，我认为可以从图形的角度来进一步帮助理解：不等式组的可行域如图1所示，不等式组，的可行域如图2所示.错解就是用到的是图2，而变量的范围是相互约束的，其本质是图1.

图1

图2

师：最后一位同学阐述的理由最清晰，让人信服.从图形的角度直观地让大家感受了错误的主要因素，即两个变量之间是有相互制约的，切勿割裂变量来求单个变量的范围，从而导致解的范围的扩大.大家通过积极的讨论、深入的思考，相信以后不会再犯类似的错误.

二、从讨论中寻求多解

数学问题解决能力的提高自然不是一朝一夕的，是从不断的解题中去提升的，若是单一的思考，这种解题的思维是无法发散性地培养的.往往在教学中，一题多解是必不可少的提炼.笔者以为，课堂教学中对多解性问题的讨论，而且是学生思维的多解，结合教师指导的多解，在相互探讨中势必能激发学生更好的学习，而且教师在此过程中，不宜表现得过于“聪明”，相反适可而止、鼓励学生讨论才是课堂教学的主旋律.

例2 若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为______.

分析1：分类讨论视角.

师：目标函数x2+y2≤1是什么样的区域？

生1：显然是单位圆及其内部.

师：目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何思考？

生2：需要分类讨论.当x2+y2≤1时，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，为了求F的最小值，可以按2x+y-2＞0与2x+y-2≤0，把问题转化为约束条件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如图3，直线l：2x+y-2=0将单位圆面x2+y2≤1分为两部分：

图3

（1）当2x+y-2＞0时，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即问题转化为求目标函数z=x-2y+4在阴影区域及其边界的最小值，由线性规划知识可求得F＞3.

（2）当2x+y-2≤0时，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即问题转化为求目标函数z=-3x-4y+8在直线l下方与单位圆面所围区域（包括边界）的最小值，由线性规划知识可求得F在点A时取得最小值3.

师：不难发现当x2+y2≤1时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，只需按照2x+y-2＞0与2x+y-2≤0分类即可.这是大家擅长的方式，但是对于小题而言稍显烦琐，再思考其他可行的方式.提示一下，目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何用几何意义思量？

师：那我们可以从解析几何的视角，用几何的方式寻求思路.

生4：如图4，直线l1、l2的斜率分别为两直线间的夹角记为θ，则.令点P（x，y）是x2+y2≤1所表示区域上的一点，PN⊥l1，

图4

说明：试题的解决不仅仅限于常规思路，分类讨论的确是不错，但是几何的方式也是独树一帜有助于培养思维的发散性，课堂讨论汇总学生还给出了不少其他的思路，限于篇幅笔者不能一一展开赘述，有兴趣的读者可以尝试三角不等式等方式.

课堂教学最好的方式始终是以生为本的设计和尝试，今天的课堂教学在解题方法和试题训练上做足了文章，缺乏对学生思维的关爱和错误的考量，这种方式亟需改善，否则再多的教学时间也不能换来高效的教学效率，“讲不如做、做更要思、思还需论”，可见讨论在数学课堂教学中重要性，其关注了学习为何犯错的因素，也提高了学习时间的注意力，是有效的手段.

参考文献：

1.石志群.高考数学命题思路分析及复习策略［J］.中学数学月刊，2009（11）.

2.渠东剑.探究方法比探究结果更重要［J］.中学数学教学参考（高中），2013（4）.

3.沈恒.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升［J］.中学数学月考，2014（5）.

4.熊小平.反思性数学学习的理论与教学策略［J］.中学数学研究，2015（5）.J