基于调查的“函数应用”教学建议

☉山东省日照市岚山区第一中学 刘国庆

与方程、不等式、集合、数列、几何等内容紧密相关的函数知识在高中数学的教学中是一条很重要的主线，蕴含着数形结合、分类讨论、化归等诸多思想方法的函数知识在高中数学学科领域中也得到了极为广泛的应用，因此，高一学年中“函数应用”的这一部分内容可以说是整个高中数学学习的基础.

一、教学现状

笔者在本地四所高中的高一年级中各抽取一个班级的学生进行了问卷调查，将了解到的学生在函数知识方面的学习情况制作成了表1所示的课堂观察记录表，从表中数据不难发现学生在函数学习中的一些客观情况.

1.函数应用能力低下

高一学生在“集合”知识上的得分率为91.1%，在“基本初等函数”知识上的得分率为70.6%，而且，学生在函数基本知识试题上的得分又明显高于函数应用试题上的得分（见表1）.

表1 函数基本知识和函数应用的得分率情况

函数应用方面的内容难度较大是学生在“函数应用”方面得分较低的一个主要原因，函数单调性、奇偶性、函数模型等诸多方面的应用性知识是学生学习中的难点，当然，在这些知识难点与教学重点之外，学生自身方面的因素也是影响他们得分的关键（见表2）.

表2 学生函数应用能力薄弱的主要原因调查结果

由此可见，函数知识的抽象性与广泛应用使得学生在函数概念与性质的理解与把握上产生了很大的难度，因此，学生运用函数知识解决实际问题的综合能力自然也就比较欠缺了.

2.学习方法不够科学

调查显示，有39.65%的学生在学习函数时采取的是“背概念——记公式——再练习”的学习方式；只有8.97%的学生能够较自觉地将函数知识与生活实际联系起来并解决相关的一些实际问题；有74.11%的学生没有阅读函数这一章节中的阅读材料；有50.03%的学生认为建构函数模型是没用的，自己也没有尝试过；有48.30%的学生认为老师虽然讲过研究性学习课题，但其实这部分内容对于函数知识的应用来说是无关紧要的.学生在面对数学学习的价值这一问题的回答中，绝大部分学生将升学作为了这一问题的唯一答案，学生的实践能力与创新精神在这样一种心态的驱使之下自然很难培养.

3.教学侧重解题

函数应用题一直是历年数学高考试题中的重点题型，但学生在函数应用题上的得分情况却一直是不容乐观的，这与函数应用教学的受重视程度是极不相符的，事实上，“函数应用”试题在笔者所进行的问卷测试中也是得分最低的一块内容（见图1）.

图1

“函数应用”方面的公开课有很多，笔者对自己所听取的公开课进行分析发现，“题型教学”、“解题程式教学”已经成为了函数应用教学的一种主流.很多教学经验丰富的教师通常会将函数应用题进行一定的分类与归纳，然后将每一种类型所对应的程式化的解题方案进行了总结并提供给了学生，学生在解题时只要根据教师教学时所提供的模式对号入座就能解决基本的问题，很多年轻教师也因此效仿这种教学行为以促进学生考试得分的理想化.学生看似学会了解题的“应用”，但因为学生并没有对问题的感知、比较、分析、综合、抽象等知识生成的过程进行很好的探索，学生在解决实际问题中的综合能力也就无法得到真正意义上的锻炼与提升.

二、教学对策

笔者结合“函数应用”这一内容的教学现状及相关理论知识、自身的教学实践，对这一内容的教学也有自己的思考.

1.结合函数图像进行教学

形象化例证是抽象数学概念理解与掌握的有力支撑，函数各变量之间的制约关系需要解析式来进行呈现，而函数的性质则更多地需要函数图像进行直观地显示.函数图像在解决函数问题或者一些可以转化成函数的问题中能使问题变得更加形象而具体，学生的几何直觉能力需要这一途径来进行经常性的训练.

例如，函数单调性概念的学习中有这样的描述：对于定义域中x1、x2这两个任意变量，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则说f（x）在区间D上为增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），我们则说f（x）在区间D上为减函数.如果我们对于这样的描述只做字面上的理解与分析，学生对于函数单调性的本质属性的理解就会相当有难度，但是如果将y=2x、y=-x+2、y=x2这些特殊函数的图像和定义结合起来理解（见图2），学生头脑中浮现出这些函数图像的同时将函数单调性的文字概述与图像联系了起来，理解与掌握自然不是难事.进行意义的建构，因此，教师在日常教学中应引导学生在简单数学问题中树立起建立数学模型解决问题的意识与习惯，培养学生数学观念、科学态度的数学建模是学生应用数学知识的实践过程.

图2

学生所学的函数知识中有这样几类常见模型：（1）一次函数模型（fx）=kx+b（k、b为常数，k≠0）；（2）反比例函数模型（fx）=+b（k、b为常数，k≠0）；（3）指数函数模型（fx）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）；（4）对数函

2.结合数学模型进行教学

新课程理念要求教师在教学中应帮助学生对知识数模型f（x）=mlogxa+n（m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）.函数应用题的思路与方法如图3所示.

图3

教师在函数应用的模型教学中应注意以下几个方面的内容：（1）对数据进行阅读、理解与整理.教师应引导学生借助分析、画图、列表、归类等方法对数据之间的关系、数据的单位等内容进行快速的理解与分析.（2）建立函数模型.正确选择自变量并将问题的目标表示为这个变量的函数是建立函数模型最为关键的部分，特别需要注意的是，列出函数式的同时不能遗漏函数定义域的考查.（3）对函数模型进行求解.这一环节包含函数特殊值的计算、函数值域的求解、函数最大（小）值的求解，以及函数单调性的研究等诸多内容.（4）还原评价.应用问题一般都是符合数学学科与实际背景的，因此，解出的结果必须经过检验、评判后才能确定最终的结论.

3.在思想渗透中培养能力

逻辑推理、数学运算、空间想象、分析问题及解决问题等诸多方面的能力都必须依赖较强的数学思维能力才能得以体现，数学思维这一人类内在的理性活动是大脑按照一般思维规律对空间形式、数量关系、结构关系等诸多数学内容的认识，高中数学教材对函数应用这一块儿内容的科学整合与利用对于学生数学思维能力的培养是极有意义的.

笔者在函数应用的教学中将函数图像与函数模型进行了充分的利用，并引导学生对函数知识进行了有意义的整合.

教师在帮助与引导学生进行简析的同时，积极引导学生在“一题多变”、“一法多用”的教学活动中不断拓展自身的思维与应用能力.

教师在课堂教学中应不断尝试以问题为纽带、化结果为过程、以综合为导向的教学，不断激发学生的探索精神并促其形成个性化的知识建构，帮助和引导学生完成传统性学习向T型学习的巨大改变.F