基于拓展延伸型复习案例的思考

☉西安交通大学苏州附属中学 周书琴

构建高效课堂这一数学教学改革最热门的话题说起来简单，但想真正实现高效课堂这一目标却是相当有难度的，高三复习迎考阶段的课堂教学起点高、容量大、节奏快，达成高效课堂的目标自然也就更加有难度了，很多教师在复习迎考的课堂教学中花费的精力很多，学生也竭尽全力了，但获得的成效却往往不能尽如人意，有的甚至适得其反了，难道就没有不过分加重学生负担但又能取得高效教学的方法了吗？

笔者根据高三复习迎考阶段课堂教学的特点在某些典型例题的教学上进行了深入的思考，基于经典例题的解析并进行拓展延伸对于高效课堂的建构来说应该是极有价值的，事实上，几年来的实践也确实令笔者的课堂教学获得了大面积的丰收.

一、延伸问题串

切入题：数列{an}的前n项之和为Sn=1-5+9-13+…+（4n-3）·（-1）n-1，则S15+S22-S31=______.

这道看似不起眼的填空题往往运用特殊化法很快能够解决，但笔者仔细审视该题却发现此题蕴含着可以利用的丰富知识、技能与思想，此题经过一定的延伸与拓展一定能够为学生思维与能力的发展创造出更大的价值.

学生一般运用特殊值的试验发现规律得到S15=29，S22=-44，S31=61，因此最终答案是-76.

如果能够不满足于个别特殊结论的得出并对一般结论进行由此及彼、由表及里的扩散式深入研究，这说明学生已经具备了良好的数学思维惯性.

延伸1：研究一般规律，求Sn=？

延伸2：当n为偶数时，将每相邻两项结合可得Sn=-4-4-4-…-4=（-4）

当n为奇数时，Sn=-4-4-4-…-4+（4n-3）=（-4）·+（4n-3）=2n-1.

延伸3：结合上述两个结果.

方法小结：符号因子（-1）n得到了很好的应用，此处表现为（-1）n-1，前者为偶正奇负，后者则为奇正偶负，笔者给这个以前多次应用过的方法起了一个自动控制符号的小“杠杠”这一有趣的名字.

延伸4：可否有什么办法能够一次性地得到公式①呢？

通过错项加减法可一次性地得到公式①.

延伸5：构造新数列{Sn}并求其前n项的和Tn.

则Pn=3-7+11-15+…+（-1）n-2·［4（n-1）-1］+（-1）n-1·（4n-1）.

又Pn=3-7+11-…+（-1）n-3·［4 （n-2）-1］+（-1）n-2·［4（n-1）-1］+（-1）n-1·（4n-1）.

两式错项相加，得2Pn=3-4+4-4+…+（-1）n-·24+（-1）n-·14+（-1）n-·1（4n-1）=3-4 ［1-1+1-1+…-（-1）n-1］+（-1）n-1·

延伸6：数列{Sn}的各项依次为1，-4，5，-8，13，-8，9，-12，…，则数列{Tn}的各项依次为1，-3，2，-6，3，-9，4，能与上述Sn的表达式一样，根据n的奇偶性将两个结果合并吗？

延伸6的难度与延伸3相比难度更大，但其中巧妙运用自动控制符号的小“杠杠”原理却是一样的，两个表达式经过加工变形在+1与-1上有区别之外，剩余部分都是一样的，小“杠杠”安装进去即可得到：

分子中括号里4的系数分别是+1与-1，后面也分别为+1与-1，所以，当n是一切正整数时，有统一公式Tn=这从实质上来说是与之前公式②完全相同的.

可以用两种方法解决.

解法1：先求数列（{-1）n-1}的前n项和Qn.

解法2：再由n的奇偶性分别求和.

两式合并起来又会怎样呢？

当n为奇数时，

所以，当n为所有正整数时有统一公式：

压轴问题：③、④两式具备怎样的一致性呢？

方法1：当n为偶数时，③、④两式都可以化为Rn=

当n为奇数时，③、④两式都可以化为：

方法2：③、④两式都可以化为：

二、反思评议

（1）具备节时高效的优点.时间紧是高三数学迎考复习阶段最为突出的问题，如果不任意用题海卷山来增加学生的课业负担，那么时间对于高三所有的数学教师来说其实都是一样的，因此，如何在这样一个恒定的时间段内发挥课堂教学的高质量、高效益就成为了所有高三数学教师必须认真考虑的问题.本文列举的一系列延伸题组是建立在一个看似特别微小的填空题上的，这么多问题的延伸在有限的时间内对于学生思维的拓展与灵感的触动无法估量，高三数学教师如果能有如此变式延伸练习的教学意识，必然会在有限的时间内获得令人惊喜的巨大收获.

（2）应遵循科学发展的规律.数学课堂与国家发展一样都应讲究科学的发展，蛮干、折腾都是一些没有意义的无效劳动，因此，教师在教学中应遵循学生认知与能力的发展规律层层递进、步步深入地落实教学，使学生能够在教师的针对性引导中一步一个台阶地踏实提升，环环相扣且踏实科学的数学研究必然能对学生科学精神的树立与科学态度的培养起到积极的作用.

（3）延伸拓展的覆盖面得到扩充.本文中从微小填空题所延伸出的诸多问题都具备了“小”、“巧”、“活”、“宽”的特点，但回头对这些小题进行审视，我们不难发现其中蕴含了非常丰富的知识、技能与思想，特殊数列、通项公式、前n项和、错位相减法、符号因子的运用等知识与方法以及所隐含的数学思想得到了“拆”、“凑”、“配”、“添”、“变”、“换”等小技巧的应用，这在高中数学的学习中可以说是重点中的重点.

（4）理悟结合.逻辑思维与直觉思维的融合发展才是完整数学思维的表现，因此，教师在教学中应对学生的悟性猜想、类比联想、灵感顿悟等诸多方面的表现进行随时的观察，并注重其这些方面能力的锻炼与培养.

（5）同样应注意分层.事物发展的不平衡性对课堂教学也提出了分层教学的要求，针对不同水平与能力的学生提出不同的要求并落实教学对于所有学生的发展来说是必须的，基于典型例题并找准研究的切入点所进行的变式或延伸对于各水平层次的学生来说都创造了广阔的思维发展空间.

（6）同样应重视学生这一主体.教师在典型例题的延伸教学中应尽量引导学生提出问题，并想尽办法让学生对问题展开研究，当然，教师放手于学生不顾的行为也是错误的，教师应随时关注学生在认知、思维、探究上的诸多表现并在关键之处及时点拨，适当地“点一点”、“促一促”、“帮一帮”、“扶一扶”、“托一托”对于学生的困惑就是极有价值的“及时雨”.

（7）学习情趣高昂.兴趣可以说是钻研探索与潜藏智慧的发动机与挖掘机，很多创造灵感的形成都需要兴趣的引爆.教师在高三数学复习迎考阶段也不能一味用升学来催使学生拼搏努力，而应该将新颖别致但又符合考试要求与学生认知的题目提供给学生研究，学生在自己的研究中获得一个个意想不到的结论、一个个跌宕起伏的探索历程，必然能够创造出更多的灵感、笑声与掌声.

（8）充满励志教育.数学解题的过程其实也蕴含着丰富的情感与意志表现.教师应不断引导、鼓励学生在解题探究中树立起数学真理的执着追求，使学生面对困难时不会轻易产生退缩、畏惧、动摇的负面情绪，在一定的胜利中也不会轻易产生骄傲自满的情感，使学生能够在数学探究的历程中因为自身的提高而逐步树立更高的要求，引导学生将升学看成个人成长道路上的一个微小目标并使其逐步培养起为祖国、民族发展而努力的远大理想.F