例谈复习教学中的整体性层次设计

2018-04-14江苏省张家港市沙洲中学

中学数学杂志 2018年7期

☉江苏省张家港市沙洲中学袁霞

众所周知，数学复习教学是整个中学数学教学的重点和难点.从复习教学的方式和难度来看，教师往往找不到合适的方法、典型的手段、揭示数学本质的试题，这导致数学复习教学效率较低.从复习教学的现状来看，其效率不高的主要因素有三：第一，复习教学没有针对性，往往泛泛而教，不少复习教学就是不断地用一张一张的训练卷替代了复习，低效而辛苦；第二，复习教学没有层次性，缺乏思考，为了讲题而讲题，没有区分度，也没有目的性；第三，复习教学需要整合性，缺乏整合性的、零散的复习教学自然是低效的.鉴于这些因素，笔者以往后续复习教学需要做出符合学情的设计、试题的挖掘、改编，做出合理的、有层次的、有针对性的复习教学设计，为学生提供高效的教学效果.

一、复习教学整合设计

整合是复习教学的第一原则.从复习教学的设计来看，我们不能将知识割裂复习，这样会导致复习的零散、知识点的孤立和单一，因此，笔者以往的复习教学设计都关注知识的连贯性和整合性，这样才能让学生从整体的视角审视所复习的知识的重要性和整体理解.比如以《曲线和方程》一节为例，不难发现大多数教师对其的复习没有整体性的掌握，只是将概念罗列一下，给出几个没有相关性的问题让学生做一做，这样的教学是浮于表面，没有深刻性的.笔者是这样理解曲线和方程复习的整体性掌握的，给出复习教学整体性的设计思路，如下：

设计1：椭圆中心在原点，一个焦点是F（-1，0），求这一类椭圆中与直线l：2x-y+3=0有公共点且离心率最大的椭圆方程.

设计2：圆方程x2+y2=10，若弦BC的中点求该弦所在直线方程.

设计3：求椭圆2x2+y2=1上的点到直线距离的最值.

设计4：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若则点A的坐标是____________.

设计说明：曲线和方程对于学生而言是什么？其实，教师都知道，学生根本对其不甚理解.原因很简单，这一概念在考查中并不是以概念的形态考查进行，而是更多地融入在其他知识中整合性的考查，导致教师本身也对其了解不多，不够重视.笔者给出了四个问题的设计，对本课进行了复习，来看一看这四个问题设计有什么作用：

设计1的作用：何为曲线的方程？方程的曲线？这是这一知识的基本概念.可以这么说，学生对这一概念本身就是茫然的，通过设计1，旨在暗示学生，公共点在曲线上，公共点自然满足曲线椭圆的概念，即两段焦半径之和为定值.这恰是曲线的方程复习的第一要素：从代数上理解了第一层面，即曲线上的点是方程的解，从几何上理解了第二层面，即曲线上的点需要满足曲线定义，思考视角——曲线椭圆的定义.给出部分简解：记右焦点Q（1，0），本题只要解决F（-1，0）关于直线l：2x-y+3=0的对称点P，从而最小的2a=|PQ|.

设计2的作用：以圆为背景设计的本题，很自然地将问题解决的方式融入其中，学生思考方程的曲线有没有特殊性？是圆还是椭圆？还是双曲线？本题是圆，如何用特殊曲线的角度思考——自然是圆的几何性质，从初中到高中，圆是学生接触的最早的圆锥曲线，自然对其的几何性质了解更多，利用垂径定理、弦心距三角形获得几何方式的解决方案；从一般性的角度来说，曲线形态更为一般化是否具备解决途径？比如，椭圆、双曲线，还能这样处理吗？例如，椭圆方程2x2+y2=1，若弦BC的中点），求该弦所在直线方程.显然不行，利用点差法是可行的.因此曲线和方程复习的第二要素：关注曲线形态，利用曲线性质，思考视角——不同曲线上点的处理方式.

设计3的作用：本题对于学生而言，思路较为直观，其很自然能体会到相切位置的状态.这样的解决方式回到了曲线上切点的代数处理方式——判别式等于零，思维含量低、运算量大；曲线上的点满足曲线方程，也可以有别样的运用方式，这里考虑点的不同坐标形态——三角形态，令，利用点到直线的距离公式结合三角知识可求得.因此曲线和方程复习的第三要素：关注曲线上的点坐标形态的多样性，满足方程的解都在曲线上，思考视角——满足曲线上的点的不同坐标形态.

图1

设计4的作用：本题是高考真题，观察图1，我们发现最大的困难是如何解决点的运用方式？这里提出了对曲线上点的运用新的思考.回想向量们就不难想到椭圆的对称性，以保障在同一直线状态下运用韦达定理，从而获得解决.因此曲线和方程复习的第四要素：关注曲线的几何性质，如对称性等，使得点的问题解决获得更简洁的处理，思考视角——满足方程的点在曲线上的对称性.给出简解：设直线AF1与椭圆的另一个交点为B1，设点A的坐标为（x1，y1），点B1的坐标为（x2，y2），由圆对称性，可得|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.设直线AF1为x=y-1=0，由所以（故点A的坐标是（0，±1）.

说明：本案例描述的是对于某一知识点进行的整合性复习教学，其完全属于教师自主开发的复习教学专题，这样专题的开发，大大浓缩了教学的精华，将复习教学不再是就题论题式的训练，而是完全融入了知识点和更高层次的设计，既有点在曲线上最基本的理解——定义运用，也有点在曲线上的变化——性质的使用，更有曲线形态的思考——对称性等，这都是曲线和方程的深度复习教学设计，将知识的整合性完美融合，体现了复习教学的高效.

二、复习教学解法设计

复习教学离不开解题，更要从问题的解决中收获知识运用的方方面面，体会方法运用的合理性，这都需要教师对于解法的特别关注.如何在解题中也体现整体性的层次设计呢？这里首先需要选择合适的数学问题，一个优秀的问题，自然有不同的解法，不同的解法反映了学生不同的解决能力，体现了解决问题的整体性层次，有助于学生开拓解决问题的思路，获得更多的解题经验.

例题：在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若AB为直径的圆C与直线2x+y=0相切，则圆C面积的最小值为____________.

分析：本题改编自高考真题江西卷，解决本题的方式方法多种多样，但是不同的学生能体会的是不同的解法，教师的作用在于层层递进式的引导学生思考问题解决的层次性，体会多角度思考、多角度知识的运用、发散思维的培养，获得知识的整体性.

解法1：从到定直线距离等同于到定点距离这一视角出发，我们自然发现这里考查的是抛物线的定义，这是每一个学生都应该思考的点，因此问题可以这样解决：由已知得点C的轨迹为以O为焦点，直线2x+y-4=0为准线的抛物线，所以将问题转化为求抛物线上的点到焦点的距离的最小值.如图2，设原点O到直线2x+y-4=0的距离为d，则d，点C到直线2x+y-4=0的距离是圆的.对定义的理解，是问题解决的第一种正规思维，体现了基础性.

图2

图3

解法2：不少学生对于定义的理解是标准形态下的，其没有深刻理解到定义的博大精深，其运用代数化的方式求解轨迹，因此教师从整体性的角度给予指导：由已知得点C（x，y）的轨迹方程是化简整理得x2+4y2-4xy+16x+8y-16=0，所求的问题，将转化为求曲线E上的一点到直线2x+y-4=0的距离最小值，此时只须将直线2x+y-4=0向曲线E平移，当与曲线E相切时，切点P（x0，y0）到直线2x+y-4=0的距离就是半径r的最小值.如图3，设切线方程为2x+y+t=0，由消去y0得28t-16=0，由于相切，所以Δ=（20t）2-4×25×（4t2-8t-16）=0，解得t=-2，此时从而得到等式r=min

解法3：对于圆来说，代数化的方式并非是最完美的解决方式，其有更为高效的方式——几何.从初中到高中，圆是研究的最多的圆锥曲线，因此我们从整体性理解的角度设计解法3，让学生站在更高的视角思考问题的解决.设圆C与直线2x+y-4=0相切于点P，则由已知得圆C过点A、B、O、P，且有CP垂直于直线2x+y-4=0，如图4，显然当O、C、P三点共线时圆C半径取最小值，此时点O到直线2x+y-4=0的距离是圆C的直径.