高三概率专题复习的实践性思考

☉江苏省海门中学 王 娟

概率专题的内容是历年各地高考试题中必考的内容，客观题一般都会侧重于计数原理、排列组合等概率问题的考查，而主观题则会侧重统计图表等知识为主的综合能力的考查，概率问题的试题在整个数学高考试卷中所占的比例是不容忽视的.

一、复习应着眼于概念难点的突破

概率专题的复习跟其他任何专题一样，都应着眼于概念定义的回顾并夯实这一必要的基础，学生对概念的表征只能停留在字面符号上是概率专题复习中比较常见的，由此常常导致学生在理解与应用方面出现差错.

1.基本事件等可能

抛硬币、掷骰子等模型是建立在基本事件等可能基础上的经典的古典概型模型，学生面对这些贴近生活的古典概型模型一般都不会有太大的问题，但在几何概型问题的理解中因为基本事件的选择不当往往会忽略一些判断从而导致概率公式的盲目套用，最终产生错误.例1就是一道比较容易出错的典型习题.

例1 如图1，在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C，过C点在∠ACB内作射线CM并使其与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率.

很多学生凭借已有经验立马得出M落在AB上的位置是等可能的，因此作出了这一答案.事实上，M落在AB上的位置是不等可能的，从题中条件可知，射线CM在∠ACB中是等可能分布的，基本事件为思考问题的角度得以确定，因此，应在AB上截取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，所以满足题设的概率为

图1

2.条件概率和事件的独立性

一般来说，设A，B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）在事件A发生的条件之下事件B发生的条件概率.

学生对于条件概率的公式虽然一般都能背诵出来，但很多对其求解却不得要领，究其原因，还是学生对于事件A、B同时发生时的概率P（AB）比较难以理解.也有为数不少的学生在一些具体情境中会直接默认为P（A）P（B），事实上，P（AB）=P（A）P（B）必须建立在事件A，B相互独立的基础之上，这正是学生在这部分内容学习中的难点.

二、复习应着眼于基本原理的策略运用

概率的理解离不开计数问题的理解与解决，这其中所蕴含的分类加法与分步乘法原则不仅仅是排列组合产生的源头，而且还是复杂计数问题中最为基本的支干，此类问题的解决应在两个原理的指导下并凭借排列组合的工具来完成，枚举法、捆绑法、插空法以及正反转化等方法是此类问题解决中经常用到的解题策略.

学生在高一、高二年级已经初步掌握了计数中的一些基本策略和技能，因此，很多学生对简单基础的计数问题往往会表露出比较轻视的态度，但面对一些比较复杂的概率问题往往又觉得难度甚大而束手无策，矛盾心理的产生使得解题变得更加困难.笔者在一些访谈与观察之后发现，很多学生在此类复杂问题的解决中一般都在分类讨论上出现了差错，尤其面对一些限制条件较多的复杂题目，学生在解题着眼点的突破上往往比较混乱，分类依据的探寻也就更加有难度了，即使有的学生能够进行分类研究，但也会缺乏应有的判断，下述例2是笔者曾经在课堂教学中引用的反馈练习.

例2 某城市在城市广场即将建造的一个花圃的形状，花圃分成了如图2所示的6个区域，上级要求在该花圃中栽种4种不同的花，每个区域栽种一种但相邻区域栽种的花不能相同，不同的栽种方法一共有多少种呢？

图2

分析：这是根据四色原理改编的一个问题，解题首先要明确的是题中所给出的限制条件，根据图中所给出的区域结构特征以及四种花必须种全这一条件可以推断出区域1内的花必须跟其他所有区域都不相同，因此，区域2、3、4、5、6内必须栽种3种不同的花才能符合题意要求.大多数学生对这些推断一般都是能够理解的，但将3种不同的花种入剩下的5个区域内应该如何分配对于学生来说却是很困难的.事实上，面对接下来的问题，如果能够列表并采取枚举法来进行配凑与排除进行解题也就比较清楚明了了.

表1

根据学生在这部分内容中学习的情况进行分析，学生一旦掌握插空、捆绑等比较有技巧的策略后却往往不易遗忘，在具体问题的解决与实施中也一样如此，这是比较奇怪的.枚举法这一最为基础的方法在简单的运用中一般会受到学生的轻视，在复杂问题的运用中却又常常令学生望而却步，这种矛盾的局面与学生心理在枚举法的运用中是比较常见的.比如，枚举法在换座位、n位数排列等常见问题的解决中是分类讨论时必须经历的，教师在教学中首先应强化学生的重视态度并引导学生在解题中严谨操作，使得问题能够得到不重不遗的分类研究与解决.

三、复习应着眼于模型的正确提取

考查超几何分布与二项分布之间联系与区别的主观题在历年高考试题中并不少见，笔者在复习教学中曾经为学生提供了以下一个反馈练习.

例3 某食品厂检查一条自动包装流水线生产情况时随机抽取了40件产品并分别进行了称重，产品重量（单位：克）的分组区间如下：（490，495］，（495，500］，…，（510，515］，根据数据绘制如图3所示的样本频率分布直方图.

图3

（1）根据频率分布直方图对重量超过505克的产品个数进行求解.

（2）在40件产品中任意抽取2件并设重量超过505克的产品数量为ε，求ε的分布列与数学期望.

（3）如果在这条流水线上任意抽取5件产品，求正好有3件产品的重量超过505克的概率.

分析：学生在这道二项分布与超几何分布融合的习题中很好地解决了第（1）、（2）小题，但在第（3）小题中却出现了两种答案，且两种答案在人数上势均力敌.

解答2：设超过505克的产品数量为X，则X～B（5，0.3），则所求概率P（X=2）=（0.3）（20.7）3=0.3087（.这一解答约占54%）

学生的困惑主要表现在两个方面：①两个分布应该怎样进行正确的区分呢？②分布不同，但为何最后的答案却又如此接近呢？

笔者以为困惑①的解决应该着眼于两者本质区别特征的揭示.

二项分布与超几何分布的抽象形式分别是“有放回”和“不放回”，前者可以看成为独立重复的，每次试验只有两种结果且各结果在每次试验中发生的概率稳定.后者则表现为产品总数是有限的.超几何分布与二项分布在抽样形式“不放回”变成“有放回”时是可以转变的.

困惑②的解决则应该着眼于二者概率计算公式的证明.事实上，二者的概率在总数N很大时甚至可以相等.这一证明过程并没有必要一定要向学生展示，但教师应该联系实际并作出通俗的解释.一般说来，抽样计算的概率在有放回与不放回时结果应该是不一样的，而且其结果在总体样本容量比较小时会展现出巨大的落差，但抽取的样本数因为总体样本容量特别大的缘故对总体的影响不会产生很大的影响，超几何分布此时转变成了二项分布且在概率上表现为相等.因此，教师在教学中还应该引导学生对“放回”、“独立”、“总量很大”等关键词进行重点关注，使学生能够在准确提取相关分布模型的前提下进行问题的解决.

概率问题在近年来的高考试题中越来越呈现出其广阔的背景，越来越多的其他知识也交汇到了概率问题中，融合不等式、算法、数列、平面向量、立体几何等诸多知识的交汇题在高考试题中屡见不鲜，不过，这些背景不断得到创新的试题所要考查的重点始终没有改变，不管其中知识综合的转化与迁移是如何发生与发展的，学生只要能够抓住问题的本质并结合自己牢固的知识基础就一定能够以不变应万变.J