关于Lagrange微分中值定理的应用

王 鹏

（吉林省集安市第一中学 吉林集安 134200）

引言

Lagrange中值定理是研究函数在区间全体性质的有力工具，是微分学的核心定理。所以一直备受人们的关注。但人们往往只注意定理的内容，而对定理的应用不是很灵活。本文针对Lagrange中值定理给出了几个方面的应用。

一、预备知识

函数在某一点的导数只反映了函数在局部或小范围内的性质，但在实际问题中我们往往需要讨论函数在全局或大规模范围内的性质。特别是，有必要从函数的导数给出的局部性质推导出其整体性质或大规模性质。所学的微分是用自变量的变化量和起点的导数值来表示函数变化的近似值。

然而，这只是一个近x似方程（一般说来，其误差只在Δx→0时才趋向零），而且只在0附近可用，所以它不适用于解决所提出的问题。然而，这个精确的方程可以得到：只要在起点（1）的导数值f′(x0)被x0与x之间的某一点ξ的导数值f′(ξ)所取代。即

其理论根据就是Lagrange中值定理。

定理1 (Lagrange中值定理) 设函数f(x)满足条件①f(x)在[a，b]上连续。②在(a，b)内可导ξ，

则在(a，b)内至少存在一点(a＜ξ＜b)，

推论2 如果f(x)在开区间(a，b)内满足f′(x)=0，那么在(a，b)内f(x)=C.

主要描述函数在一定区间上的增量与函数在该区间上某一点上的导数之间的关系。因此，它也被称为有限增量定理。因此，在研究函数的增量与导数的关系时，都可以用Lagrange中值定理来尝试。

二、Lagrange中值定理的应用

1.证明不等式

若函数f(x)满足Lagrange中值定理的条件，则可得：

可得到f′(ξ)的一个取值范围。从而这样就有了一个值的范围，对应于不等式，这是使用Lagrange中值定理证明不等式的基础。

因此，当Lagrange中值定理用来证明不等式时，应首先分析不等式，不等式变形，然后选择函数和区间。将不等式的一边，使函数在某个区间上的函数增量与自变量增量的比值，再对该区间上的函数使用Lagrange中值定理。最后估值，即得所证不等式。

2.证明恒等式

在利用Lagrange中值定理证明恒等式时有以下两种类型。

（1）等式两端都为代数式

例1

如函数f(x)是[a，b]上的正值可微函数，则有ξ(a＜ξ＜b)使

证 设φ(u)=lnf(u)，在[a，b]上。

由题设容易知道，φ(u)在[a，b]上满足Lagrange中值定理的条件，故存在ξ∈(a，b)

这类题型直接从定理本身出发。分析等式，经过变形，找到满足Lagrange中值定理条件的增量函数，应用Lagrange中值定理，再经过变形得出所要证明的恒等式。

（2）等式的一端是一常数

证 设f(x)=arctgx+ar′cctgx，

则f′(x)=(arctgx+arcctgx)

由Lagrange中值定理的推论知f(x)=c.

做这类题时，首先应该设等式的一端为函数f(x)，然后对函数求导，若是能够得出f′(x)=0。则应用Lagrange中值定理，推出f(x)=C，因C为一常数，故任取一值代入等式左端，所得的值为定值C，所以恒等式得证。

3.研究函数在区间上的性态

由预备知识，根据已学过的微分，自变量在函数中某一点的变化量和x0与x之间某点ξ处的导数值f′(ξ)有如下关系f(x)-f(x0)=f′(ξ)(x-x0)，将其变形得到f(x)=f′(ξ)(x-x0)+f(x0)于是，转化成了利用在ξ一点处的导数研究函数在整个区间上的性质。

因此，在研究函数在区间上的性态时，首先根据题设找出满足Lagrange中值定理条件的函数，然后应用Lagrange中值定理，得出恒等式，再由题设条件推出函数导数与零的关系，从而证明出所求区间的性态。

4.证明方程根的存在性

例3 设f(x)在(a，+∞)上连续，且当x＞a时，有f′(x)＞1，证明，如果f(a)＜0，则方程f(x)=0在(a，a-f(a))上有且只有一个实根。

证 存在性，由题设知，函数f(x)在[a，a-f(a)]上连续，在(a，a-f(a))上可导，根据Lagrange中值定理，在(a，a-f(a))内至少存在一点ξ使

f(a-f(a))-f(a)=f′(ξ)[(a-f(a))-a]，a＜ξ＜a-f(a)成立

亦f(a-f(a))=f(a)-f(ξ)f(a).

因f(a)＜0，f′(ξ)＞1

有f(a-f(a))=[-f(a)][f′(ξ)-1]＞0.

从而f(a)⋅f(a-f(a))＜0，根据连续函数的介值定理知，在区间(a，a-f(a))内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0成立，即方程f(x)=0在(a，a-f(a))内至少有一个实根。

唯一性，因f′(x)＞1＞0，函数f(x)在[a，a-f(a)]上单调增加，从而知f(x)=0在(a，a-f(a))内有且仅有一个实根。