高中数学解答能力发展实践路径

冯春媛

（贵阳市第一中学，贵州　贵阳　550081）

一、核心素养视野的高中数学解答能力特性分析

如同高中各学科教育，高中数学也已经进入核心素养时代。“数学核心素养的本质,是描述一个人经过数学教育后应当具有的数学特质,大体上可以归纳为:会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界。”数学课堂发展学生的这些数学核心素养，需要引导学生形成有效的数学学习策略，发展学生的自主学习数学的学习能力，“学生获取数学核心素养依赖于经验的积累,因此在教学设计中,要抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律,创设合适的情境、提出合适的问题,启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流,在掌握知识技能的同时理解数学的本质、形成和发展数学核心素养。”[1]

众所周知，发展学生“会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界”的数学核心素养，可以、更应该在所有数学学习活动中进行。不过，分析数学教育实践，我们发现，数学解答活动，作为综合性的数学学习活动，对发展学生数学核心素养具有综合性作用。

高中学生的数学核心素养发展程度的评价，对于高中数学教育非常关键，“评价应当与教学融为一体、相辅相成,在考查知识技能的同时关注学生数学核心素养的达成,应当实现评价形式和命题形式的转变。”[2]在我国当前的基础教育体系中。学生数学核心素养的评价方式之一、也是非常重要的方式之一是高考。如对于数学能力中最为关键的能力之一的数学解答能力，《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》在数学试卷结构中就有明确规定，高考数学全卷包括必考部分和选考部分，其中解答题在必考部分中有5个解答题，选考部分包含选修系列4中的“坐标系与参数方程”“不等式选讲”各一个解答题。学生从2题中任选1题作答。[3]考试说明中指出“解答题分数大约占总分的45%”，解答题考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力的导向，是对知识、方法、能力的综合型考查，要求学生具有一定的创新意识和创新能力，具有较好的区分层次和选拔功能。

基于以上分析可知，数学解答题对于发展学生核心素养具有显著的综合作用。基于解答题综合发展学生核心素养，对于学生而言，需要形成所需的学习策略，非常基础，也非常必要。

把握解答题所需的解答能力，需要从解答能力内涵入手。基于高中学生数学解答能力发展实践分析，高中数学解答能力具有以下显著特性。

1.高中数学解答题能力覆盖内容

基于数学课程、高考数学考试大纲、数学试题分析可知，高中数学解答能力内容覆盖以下六个领域：

2.高中数学解答能力构成

分析高中数学解答题可知，高中数学解答能力有以下四项能力构成：

能力构成　能力描述概念能力很强　涉及到的数学概念（包括符号、术语）多达十几个方法能力多样　解答方法多样，为不同层次、不同思维方式的学生提供了展示自己才能的广阔空间运算能力突出　对运算求解能力有较高的要求，特别是含字母的运算思考能力丰富　不仅包含了函数与方程的思想，数形结合的思想，还考查等价转化、分类与整合的思想等

3.高中数学不同内容解答能力特点

分析数学课程标准、高考考试大纲、诸多具体高中数学解答试题等，我们发现，不同内容的解答题的解答能力结构特点如下：

六项不同内容解答能力结构特点三角函数及三角形（数列）　知识陈述，恒等变形概率统计　贴近生活，整理分析立体几何　逻辑推理，内涵丰富解析几何　化形为数，突出运算函数与导数　以导为导，综合统揽坐标系与参数方程　参普互化，直极共存

二、高中数学解答能力发展

许多学生往往在答题过程中因为各种不规范答题导致不能形成有效解答。怎样解题才算规范？学生需要按照规范的解题程序和答题格式分步解答，准确、简洁、有效、符合评分标准，实现答题步骤的最优化。

1.解答能力陈述要求

高考考试说明中指出解答题要按照以下要求进行陈述：文字说明，演算步骤，推证过程。关于文字说明可以总结为：言行一致、能说会道、字字珠玑、掷地有分。具体能力要求：

能力要求　示例一　说引入的字母、符号、式子代表的数学意义如：设等比数列的公比为；设直线的方程为；记事件发生的概率为……二　说理由、说依据如：由已知条件得：........由正弦定理可得：........由抛物线的定义可得：........联立方程解得：........三　说解题过程中的成立条件、作图说明如：当且仅当时，面积取得最大值；以A为坐标原点，AB方向为轴正半轴，....建立如图所示的空间直角坐标系；连结AC交BD于O点.......四　说结论，说结果如：直线PA与平面ABC所成角的正弦值为……综上，函数 f(x)在（0，1）上单调递减，在（1,3）上单调递增；根据以上数据说明，应该选择A方案……

2.演算步骤能力要求

关于演算步骤要求，应符合以下要求：合乎情理、过程清楚、步骤完整、结果正确、步步为赢。

序号　演算能力要求1演算的目标要明确2演算的过程要符合算理3演算的方法要简洁4演算的步骤要清楚完整5演算的结果要准确

3.证明过程能力要求

关于证明过程，要求具有以下能力：言之有理、落笔有据、由因索果、环环相扣、步步得分。

三、不同内容解答能力内涵与发展策略

高中数学教育具有较为突出的知识与能力板块特性。对前述6项内容，高中数学教育实践形成对其能力内涵的准确分析，笔者结合自己的高中数学教育实践，形成相应的发展策略。

1.三角函数解答能力内涵与发展策略

对三角函数的考查重点是对基础概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力。

解三角形利用正弦定理或余弦定理解决边角互化问题的解答能力发展策略主要为：（1）先统一化为角来运算（三角函数性质）；其次才考虑统一化为边（不等式性质）；（2）在一个等式中尽量减少角的个数（诱导公式应用）。

其解决最值或范围问题的发展策略为：（1）通常化为角的式子利用两角和与差、二倍角等恒等变换利用三角函数的性质解题（注意角的范围如锐角三角形）；（2）化为边的式子考虑用均值不等式解题，但是注意只有范围的单向。

2.数学解答能力内涵与发展策略

对数列的考查突出基础性，重点考查对数列通性通法的理解与应用，具有一定的综合性，考查对知识和能力的有机结合。

数列解答能力发展策略为：（1）涉及到等差、等比数列中的基本量有关的求解，可利用题目条件列出基本量的方程求解或利用等差、等比数列的性质来求解；（2）涉及求通项公式的题目，若含Sn有an与的等式，常常利用an=Sn-Sn-1（n≥2）化成递推关系式，再观察是否可构造为等差或等比数列的形式，同时不要忘记验证首项是否满足等式；（3）涉及数列的求和问题，常见的等差等比数列求和公式必须牢记（如前个正整数之和等）。其次掌握好如分组求和法、裂项相消法、错位相减法等求和方法；（4）证明与数列有关的不等式问题时，注意数列的单调性、可适当利用放缩法和作差比较法。

3.立体几何解答能力内涵与发展策略

立体几何试题突出综合性，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

立体几何解答题内容通常有：（1）空间线面关系的判定和推理证明（如线面，面面的平行，垂直的证明）。（2）空间中线面角或二面角的问题（理科）；几何体的体积或有关距离的问题（文科）。

立体几何解答能力发展策略为：（1）仔细审题，根据已知条件在图形中标出线段长度、角度等信息。（2）证明线面平行最常见的方法是：找线线平行可先找面面平行，最终归为找线与线的平行，其中找中位线、平行四边形为常见方法。（3）证明垂直关系时一定要熟练的将线线、线面，面面之间的垂直判定以及性质掌握好，寻找垂直关系时，等腰三角形的中线，勾股定理等是常见方法。证明时要做到：书写步骤做到言之有理，落笔有据。理科数学在解决空间角问题时可用定义法或利用空间直角坐标系划归为坐标的运算。定义法的解答步骤是“作、证、求”。

利用空间直角坐标系解题能力发展策略为：（1）建系规则：尽量使各个点都落在坐标轴上；（2）第一问是证明垂直问题时，可以直接第一问就建系；（3）注意所求的二面角是锐角还是钝角；（4）求线面角的正弦值。文科数学中多面体的体积一是要确定形状，二是找易求高的顶点及对应的底面。距离问题常常等体积法。

4.概率与统计解答能力内涵与发展策略

概率与统计解答能力内涵表现为，强调概率与统计图表、数字特征相结合，古典概型与独立性检验、回归方程相结合，古典概型与抽样方法结合问题上命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图数字特征分析和回归分析或独立性检验等内容。

概率与统计解答能力发展策略：（1）回归模型，抓住本质。仔细审题，能够恰当地回归到相应的概率模型中去，是解答概率与统计及应用问题的突破口。抓住问题的本质，进而设计相应的解题策略。（2）熟悉相关的概率模型计算公式。古典概型，几何概型、互斥、相互对立、独立、二项分布、超几何分布等。（3）抓住关键词、关键信息。相互独立，互不影响，已知概率等，则考虑独立事件；概率相等，实验具有重复性，则考虑独立重复试验（二项分布）；与统计相结合的概率题：分层抽样与独立性检验结合，系统抽样与频率分布直方图相结合，有“频率视为概率”则考二项分布，有“在（从）...选取...”则考古典概型或超几何分布）。（4）掌握用回归分析处理变量之间的相关关系以及独立性检验中统计量的观测值的计算公式。注意答题的规范性，只有算式，缺乏应有的文字说明是不可取的。

5.解析几何解答能力内涵与发展策略

解析几何强调综合性，考查数形结合的思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想等，突出推理论证能力和运算求解能力。以中档偏难题或以压轴题形式出现。

解析几何解答能力发展策略为：（1）熟练掌握圆锥曲线的定义以及相关的几何性质如：焦点、离心率、通径等；（2）研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，运用“设而不求”的思想方法，同时运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法。

需发展的解答技能有：（1）直线方程可以正设和反设；（2）定值定点问题时可先特值探求；（3）最值、范围问题：构建函数关系式，常用对勾函数，均值不等式、换元法、求导法等求解；（4）与圆有关问题考虑图形的几何特征；（5）抛物线切线问题常与导数相结合；（6）弦长公式的巧用（如抛物线的焦点弦性质）。

6.函数与导数解答能力内涵与发展策略

对函数和导数的考查侧重理解和应用，有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程，数形结合、分类讨论都深入的考查，体现能力立意的命题原则。涉及到具体内容较多：函数的极值、最值；给定解析式求参数值；对参数讨论解决单调性；给定条件求参数范围；不等式恒成立或存在性问题；证明不等式；函数的零点，图象交点等问题。

函数与导数解答能力发展策略为：（1）求函数的导数后，一定把原函数的定义域写出；（2）求导之后需要思考的问题：判断正负，以确定原函数的单调性，求根（猜根）；（3）二次求导，研究导函数的单调性，以便确定极值点的范围；（4）当导数含有参数时要考虑参数对导数正负的影响（5）不等式问题要有构造函数的意识；（6）恒成立问题通常先考虑参数变量分离转而解决最值问题，分类讨论思想综合应用。

7.坐标系与参数方程解答能力内涵与发展策略

坐标系与参数方程能力内涵为参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，对直线与圆锥曲线的参数方程的应用，考查学生转化与划归的数学思想。

坐标系与参数方程解答能力发展策略：（1）掌握极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化；（2）熟悉常见直线和圆的极坐标方程和参数方程；（3）注意直线参数方程的几何意义的应用；（4）适当的应用数形结合思想处理问题。

8.不等式解答能力内涵与发展策略

不等式解答能力为含绝对值不等式的解法以及不等式的证法，解决含参数的绝对值不等式综合问题。

不等式解答能力发展策略为：（1）含绝对值不等式的常见解法：零点分段法，数形结合法；（2）利用绝对值三角不等式定理求最值时要注意其中等号成立的条件；（3）不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决；（4）证明不等式中条件与待证明的结论直接联系不明显，考虑分析法、反证法；（5）柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件。

高中数学解答能力是发展高中学生数学核心素养的基础，发展学生解答能力必须强化数学运算求解能力、加强数学规范表达能力、关注创新意识的考查。

参考文献:

[1]史宁中，林玉慈，陶剑，郭民.2017.关于高中数学教育中的数学核心素养[J].课程教材教法.2017/04/08-14.

[2]教育部考试中心.2017普通高等学校招生全国统一考试大纲说明[Z].北京：高等教育出版社.