让直观式猜想叩开几何证明的大门

汪彦那

[摘 要] 在数学几何教学活动中，学生自身思维过程尤为重要. 教师讲解几何题时，需要重视学生的直观式猜想过程，即在引导学生猜想的同时，教会学生有效的直观式猜想方法，并带领学生用自己的直观式猜想叩开通往证明之路的大门.

[关键词] 几何直观；猜想；证明；合情推理

数学课程标准将直观想象列入数学六大核心素养，并指出直观想象是“分析和解决问题的重要手段”，“是探索和形成论证思路，进行数学推理的思维基础”. 由此在学生数学学习初期，重视和发展学生的直观能力尤为重要. 徐利治先生提出，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识”. 数学教育家波利亚的“启发法”中的一个推理模式即“合情推理”中，曾强调了“猜想”的重要性，他呼吁“让我们教猜想吧！”. 可见，猜想也给了证明推理以灵感，是数学探究过程中一种必不可少的能力. 若是在几何教学活动中，将学生的几何直观与在此直观感知上的猜想相结合，并对此直观式猜想过程予以充分重视，将其发展，无疑能使学生几何问题解决能力得到提升.

对基础薄弱的学生，面对有一定难度的几何问题，虽不能及时解決，但在观察图形时，即是现今所说几何直观过程. 通过这一过程，产生对几何问题解决路径的猜想，在头脑中产生对几何图形的识别和把握，进而在此几何直观的基础上，根据所学几何知识的积累经验进行大胆的猜想. 由此，留给学生对几何直观感知与猜想结合的时间和机会，为几何问题的解决打开思路. 同时，学生往往不敢肯定自己的猜想，更未对其进行深入思考，最终放弃解决. 所以该过程中更重要的是，教师要充分重视学生的直观式猜想，顺其思路进行探究和证明，并在适当的时机给学生以正确的引导，教会学生直观式猜想的有效方法，去叩开证明的大门. 整个过程即为直观式猜想. 通过这样一个符合学生思维方向的过程，学生发现自己可以解决问题，积累了经验，增强信心.

现今中学几何证明课堂中，一部分教师注重直接教予学生证明方法或口诀，充满探索乐趣的数学变得索然无味. 张奠宙先生将几何学习分为四个过程：“直观感知，操作确认，思维论证，度量计算”. 他指出，中国的几何教学常常忽略前两个步骤，变成纯粹的思维论证. 忽视了学生自身的直观感知和猜想带来的灵感. 尤其是对几何基础较弱的学生而言，教师直接解答的思维过程突兀且难以贯通，他们所需要的正是自身在面对一道几何证明题时能够获得机会和勇气去表达并应用自己的直观感知和想法，和对这种想法的肯定，最终能够独立解决问题.

放下讲解的粉笔，给学生以直观

式的猜想时间和表达的机会

“全等三角形”的证明是初中学生几何学习的一个难点，尤其是作辅助线. 部分基础薄弱的学生面对题目一筹莫展. 无从下手的结果便是放弃，教师提笔便讲解的过程枯燥无比，由此产生对数学的抵触感. 要避免此等现象，第一步便是读完题目之后给学生时间，对眼前的几何图形进行直观把握. 并借助以往全等三角形的相关学习经验，大胆说出自己的猜想，也就是：“三角形ABC和三角形EFG像是全等的”，“可能是用‘边边角来证明全等”，“辅助线可能是通过延长AB”等等.

案例1 已知CE，CB分别是三角形ABC、三角形ADC的中线，且AB=AC，∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE.

分析 此问题为利用全等三角形证明两线段相等问题，两线段CD，CE不在同一直线上，显然需要用到辅助线，将其转化到同一条直线，方可进行大小比较. 对于基础较弱的同学，以往经验促使他们想到需要辅助线才能解决该问题，困难在于如何作辅助线. 教师可以由此给学生几何直观时间，并鼓励说出猜想.

师：要证明CD=2CE，这可如何比较长短呢？

生：两条线段都没在同一条直线上，可能需要添辅助线了.

教师通过鼓励引导学生说出直观感知，给学生思考时间后，在几何直观的基础上说出他们的猜想.

生：题目中是CE的两倍与CD比较，可能首先需要延长CE至原来长度的两倍.

教师马上将该想法付诸实践，以此对学生想法以鼓励和重视.

学生容易发现此时只需证CF=CD.

师：咱们继续！那要如何证明CF=CD 呢？

生：好像直接证明很困难，可能还需要辅助线.

教师继续鼓励学生说出对辅助线作法的猜想.

生1：“连接AF试试”，

生2：“我猜是连接FB”，

生3：“感觉应该连接FD”

从上述过程可以看到，每一种想法都真实地反映了学生自己独立完成这道题的难点，以及自然反应，猜想与思考. 几何证明题在他们眼里虽如同一座不可逾越的大山，但注意观察就会发现，他们并未停止思考，而是建构自己的思维. 暗自以猜测的方式来揣度题目，用怀疑的语气说出自己的猜测. 但从古至今往往是猜想才能带给人们以灵感和解决问题的方向. 作为一名教师，何不先避开直接讲解的枯燥，鼓励学生的猜想呢. 通过这样一个师生共同探讨的过程教会学生如何根据自己的想法去突破难点.

教会学生直观式猜想的方法，叩

开证明的大门

鼓励学生抛开畏难情绪，用心思考，并勇敢地说出自己的直观感知，以及在此基础上产生的猜想，已是迈出了成功的第一步，此时，作为教学的主导者——教师，需要紧紧抓住学生随之涌出的解决问题的热情，继续鼓励学生勇敢向前，学会有效、合理的猜想.

显然，学生在直观感知后会产生各种各样的猜想，并不是所有猜想都能叩开证明的大门. 仅仅是猜想，会给学生造成证明只需胡乱猜测的误解，歪曲了猜想的意义. 教师更重要的职责在于教会学生直观式猜想的方法. 一步一步正确引导并与学生共同探究猜想. 好似带领学生，用自己的猜想去敲击证明的大门，他们不禁思考：究竟怎样的猜想才能叩开证明的大门？为何这样的猜想叩开了证明的大门？有了猜想又如何去叩开证明的大门？通过该过程，去教会学生直观式猜想，所得到的有理、有效的猜想，方能叩开证明的大门.

教师询问即为学生如此作辅助线的原因.

生1：CE=FE，AE=EB，就会形成一对全等三角形△CEB和△FEA，可能对证明CD=CF有所帮助.

生2：我的想法也差不多，此时△CAE和△FEB全等.

生3：我猜想可能通过证明三角形CFD为等腰三角形来证明CF=CD.

通过学生对自己猜想原因的表达，来引导学生猜想的方式和正确方向. 领悟到猜想也需有根据，为叩开证明的大门做准备.

此时，教师根据学生的方法进行证明，引导学生叩开证明的大门.

教师让学生观察第一幅图，让学生思考如何证明CF=CD.

学生通过之前的几何直观过程可以猜想到通过全等三角形来证明线段相等，必然是证明CF与CD所在的两个三角形全等. 教师需要应用学生此时对几何图形的直观感受以及猜想证明△CAF？艿△DBC，思维似乎已经是豁然开朗了，解决问题的信心陡然增长.

伴随学生开始出现的灵感和信心，继续解决问题关键：如何证明△CAF与△DBC全等. 此时，教师继续引导学生进行下一步的猜想，进一步迈向证明的大门.

對于三角形全等的证明也即是“角角边，边角边，角边角，边边边”四种方法，在做题过程中考虑用哪种方法才能证明三角形全等，或者用哪种方法更容易证明三角形全等是常见的考察方式，也是中下水平学生的难点. 教师在主体角色中同样引导学生根据对几何图形的直观感知猜想哪种方法较为合理.

学生首先可以发现，要证明两三角形一条对应边相等，首先排除方法“边边边”. 其次教师引导学生发现题中关于角度大小给出了一个条件，但似乎并不能直接用于证明△CAF与△DBC的全等，可以猜想到运用“角角边”与“角边角”两种方法可能较为困难. 容易想到用“边角边”这一个方法. 当然即是找到余下两组对应边BD与AC，BC与AF以及夹角相等，.

同样，对于第二种猜想的作辅助线的方法，教师引导学生观察发现要证明△CBF？艿△CBD想到用“边角边”的方法，且通过证明△CAE≌△FBE来证明BF=BD以及∠CBF=∠CBD.

再看如下这道几何证明题，难度较上述例子更大. 也充分体现了对于中下水平学生解决这道题时，直观式猜想对于打开证明的思路的重要性.

案例2 等腰直角三角形ABC，∠ABC等于90°中，BA=BC，D为ABC外一点，AD⊥DC，AD交BC于N，连接BD，过B作BM⊥BD，交AD于M，若CD=BM，求证：AC=AB+BN.

对案例2，教师依然可以鼓励学生观察图形并猜想如何通过作辅助线帮助证AC=AB+BN，

有学生的猜想和上述案例1一样，通过延长AB至G点，使得BG=BN，即直接通过题目的问题，猜想可能所需的辅助线；有的学生则猜想是延长BM，与AC交于点G.

而对于第一种方法，学生猜想到要通过证明△AGN≌△ACN来证明AG=AC，从而找到解决问题的大致框架，打开了证明的思路. 此外，学生证明三角形全等的过程较为困难，若通过对图形的直观感知，不难想到△ABM与△CBD可能为全等三角形，从而为证明△AGN≌△ACN提供了条件，以及如何猜想该用四种方法的哪一种证明全等提供了思路，成功叩开证明的大门. 可谓一环扣一环，对于基础较薄弱的学生来讲，这个过程妙不可言.

可以看到，何时让学生大胆猜想；如何从几何图形的直观感知筛选有用的信息；教会学生应该如何用所得信息去猜想；根据几何直观，学生面对所要解决的问题，如何充分调动所学知识和经验等等，都体现着教师教学的智慧.

反思直观式猜想以及证明过程，

领悟其真正意义

从上述两个案例不难发现，在整个猜想引出证明的过程中，教师的主导地位需得到充分发挥. 教师对于学生的引导也尤为重要. 值得学生和教师注意的是，直观式猜想并不是避开数学思维与逻辑，而进行胡乱猜想，如此学生会产生这个过程存在运气好坏的错觉，且需要耗费大量的时间. 例如，案例1中的方法3，表面看来似乎可行，但稍加斟酌可以发现，本题缺乏角度数以及边长等条件，要证是等腰三角形恐怕相当困难. 如此一来，抹杀了直观式猜想的真正意义，当然，这样的猜想也就未必能叩开证明的大门了.

作为一名教师，需要思考然后教会学生做到有效的猜想，领悟到真正意义.

首先上述解决过程体现了几种猜想的思维形式. 常见的即通过图像的整体直观感受来猜想以及经验判断，而这种猜想方式无疑与学生的基础知识掌握程度有关. 作为教师首先应确保学生知晓最基本的知识点. 若学生未能掌握证明全等三角形的四种方法，恐怕连猜想的想法都没有. 这就需要不断地去培养学生，扎实基础，积累丰富的经验.

其次，教师设置的情节是否恰当合理，也会影响学生是否会产生有效的猜想. 教师在引导学生解决问题的过程中，何时给出时间让学生大胆猜想也是关键. 例如问题的最开始需要学生的猜想，这是学生独立解题思维受到阻碍时必然遇到的情形. 另外辅助线的完善这一步，交给学生自己猜想既是对思维能力的锻炼，也给了学生以成就感.

最后，培养学生的自信心，勇于面对困难，不带畏难情绪去认识、学习数学，鼓励他们大胆说出自己的猜想也是教师必不可少的责任. 而教师将学生猜想及时应用于题目的证明方法，符合学生的思维过程，给予学生以莫大的鼓励，更是升华了猜想的真正意义.

“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，猜想并非仅仅是“发明家”的专属名词，数学的探究与学习过程同样需要猜想. 数学的历史发展长河之中，许多结论都是从猜想开始的. 针对基础薄弱或是对几何学习失去兴趣的学生，更不应是机械地被动地接受课本中的知识，鼓励他们对几何图形直观式猜想，予以重视并正确应用这样的猜想去解决问题，逐步培养自主解决问题的能力和信心，才能使学生的数学能力得到真正提升，数学教育得到更好的发展. 用直观式猜想叩开几何证明的大门， 给证明以灵感，浇灌思维的花朵！