基于能量的网壳结构协调抗震性能分析

张　明,周广春,张克跃,贾宏宇,李兰平,张德义

(1.西南交通大学土木工程学院,四川 成都 610031; 2.哈尔滨工业大学结构工程灾变与控制教育部重点实验室,黑龙江 哈尔滨 150090; 3.哈尔滨工业大学土木工程学院,黑龙江 哈尔滨 150090)

对于网壳结构,国外学者研究了网壳结构的动力性能及静力、动力荷载作用下的屈曲、优化等问题,并给出简化计算方法[1-7]，但从能量角度对网壳结构工作性能的系统研究较少.国内学者分别对网壳结构在地震作用下的响应[8]、单层网壳模拟地震振动台试验[9-12]、网壳结构减振分析[13]、地震行波激励下网壳反应[14]、风荷载作用下网壳结构的响应分析[15]、网壳结构稳定性[16]、网壳结构冲击响应分析[17]、模态分析[18]、动力失效机理[19-21]等方面进行深入研究.

由文献[22]可知，当地震动输入到结构的能量不超过其最大耗能能力时,结构处于稳定的工作阶段;当外界输入的能量大于其极限耗能时,结构将失去抵抗外荷载的能力,呈现不稳定的受力状态.目前基于能量原理对网壳结构协调工作特性方面的研究尚显不足,大量的网壳结构有限元分析数据(位移、应力、应变和变形能等)尚未进行深入研究,其中隐含的结构工作特征亟待揭示.本文基于能量参数重点讨论网壳结构在不同工作状态下协调工作能力及其与承载能力间的关系.首先从能量方程出发,给出了各能量参数的计算方法；然后基于能量的受力状态对单集中质量和超静定结构体系进行分析,探讨各能量间、能量参数与外荷载间的关系及失效状态下能量参数的变化特点.

1　结构体系的能量方程

在地震动作用下，单自由度体系在任意时刻的动力学方程可描述为

(1)

式中:m、c、k分别为单自由度体系的集中质量、阻尼和刚度;

1.1　能量方程构建

(2)

式(2)可以简化为

EK+ED+ES=EI,

(3)

式中:EI为总输入能量；

ED为时刻t结构体系的动能，

ED为时刻t的阻尼耗能，

ES为时刻t结构体系的应变能，

在单自由度体系能量平衡方程构建的基础上,多自由度体系能量平衡方程可以改写为

EmK+EmD+EmS=EmI,

(4)

式中:EmK为结构体系的动能，

EmD为结构体系的阻尼耗能，

EmS为结构体系的变形能，

EmI为地面运动总输入能量，

M、C、K分别为多自由度体系的集中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵.

1.2　能量方程中相关参数的计算

(1)EmI：基于ANSYS子结构分析方法提取结构体系的质量矩阵;应用MATLAB编制程序对式(3)积分得到.

(2)EmK：根据式(1)得到或利用ANSYS内部程序*GET、KENE等提取.本文采用第2种方法得到.

(3)EmD：基于计算公式通过积分方法得到,其中阻尼矩阵C参照文献[23]给出的简化计算方法得到.

(4)EmS：根据式(1)得到或利用ANSYS内部程序*GET、KENE等提取.本文采用第2种方法得到.

2　不同能量参数比较

2.1　端部固结单集中质量体系

选用三维空间中单集中质量体系，图1所示.

在ANSYS建模过程中,选用PIPE20和MASS21单元构建单集中质量体系模型,高度为1.000 m,截面尺寸为Φ0.020 m×0.002 m.材料选用双线性等向强化模型BKIN,弹性模量为206 GPa,屈服强度为345 MPa,切线模量为4.12 GPa,质量密度7 850 kg/m3,主泊松比为0.3;球节点MASS21具有6个自由度,质量为50 kg;地震动输入为TAFT波,持时为20 s,采样频率为50 Hz.

(a)单集中质量体系(b)杆件截面图1　单集中质量体系模型(单位：m)Fig．1　Modelwithalumpedmass(unit：m)

2.1.1单向地震波作用

图2为单集中质量体系在水平单向TAFT地震波作用下，各能量-时间、能量-地震波加速度峰值的关系.

由图2可知，随着地震波作用时间及加速度幅值的增加,总输入能量与各项能量之和同步增加.且在地震波持时内及结构工作状态中,结构体系的4种能量之和(ET)与总输入能量(EI)基本保持相等;当结构体系处于工作状态时,动能、阻尼耗能和应变能均稳定变化.但当加速度峰值达到一定数值时,应变能急骤增加,呈突变现象,此时结构的受力状态发生了改变.

当地震波加速度峰值达到11.1 m/s2时,结构应变能急剧增加,总输入能量却增量很小,呈现结构在此相对振动位置输入能量与结构输出能量的不平衡,推断结构的能量平衡位置已经发生改变.

如图3所示,在加速度峰值为11.1 m/s2的TAFT波时程内,结构体系杆件出现了全截面屈服,即出现了塑性铰,此时结构的刚度发生了改变,造成结构的受力状态改变,进而结构体系的变形能从原有平衡位置振荡快速地过渡到新的平衡位置.

为进一步探讨上述现象产生的原因，关闭有限元程序的几何非线性，重新分析该结构体系动力响应，并将4种能量与加速度峰值关系曲线置于图4.

(a) 能量-时间

(b) 能量-地震波加速度峰值图2　单集中质量体系在水平单向TAFT地震波作用下能量曲线Fig.2　Energy analysis of single-lumped mass system subjected to horizontal unidirectional TAFT wave

图3　应变能时间历程Fig.3　Strain energy-time curve

由图4可见,忽略几何非线性影响时,结构在原有能量平衡位置振动,能量守恒.

对比图3与图4可以推断,几何非线性是造成结构能量平衡位置发生改变的根本原因.进而可以对结构的工作状态及失效荷载进行判断.

图4　忽略几何非线性影响时的能量和加速度Fig.4　Energy-peak Ground Acceleration curves, ignoring geometrical non linearity

2.1.2三维TAFT地震波和简谐荷载作用

将上述单集中质量体系在三维TAFT波和三向简谐波(频率为1 Hz,x∶y∶z=1.00∶0.85∶0.65,持时为60 s)作用下的5种能量关系如图5、6所示.

由图5、6可以看出，EI与ET仍保持相等.另外,当地震波加速度峰值小于一定值时,结构体系的各项能量均稳定变化;当地震波加速度峰值达到一定量值后,ES急剧增加,呈现突变，与单向地震波作用下单集中体系的动力响应相同,表明应变能突变现象与动力荷载类型无关,即适合于任何形式的动力荷载.

2.2　超静定结构集中质量体系

图7为本文的超静定结构集中质量体系,由集中质量球和一榀框架所组成.质量球、框架梁和柱刚性连接,框架柱与地面固接.图中，集中质量m1=m3=200 kg,m2=400 kg,钢管长度L=0.5 m.有限元模型由单元PIPE20和MASS21构建,材料属性与单集中质量体系有限元模型相同.

(a)能量⁃时间(ag=0．11m/s2)(b)能量⁃地震波加速度峰值图5　三维TAFT地震波作用下单集中质量体系能量参数比较Fig．5　Energyanalysisofsingle⁃lumpedmasssystemsubjectedtothree⁃dimensionalTAFTwave

(a)能量⁃时间(b)能量⁃加速度峰值曲线图6　三维简谐荷载作用下单集中质量体系能量比较Fig．6　Energyanalysisofsingle⁃lumpedmasssystemsubjectedtothree⁃dimensionalharmonicwave

输入水平单向和竖向二维TAFT波,持时为20 s.与单质点体系5种能量分析方法相同,该超静定结构体系的5种能量关系如图8所示，图中，EmT=EmK+EmD+EmS.

由图8可以看出，结构处于工作状态时,随着外荷载增加,地震总输入能量与其他4种能量参数同步增加,应变能平稳增加,受力状态较稳定;结构体系失效时,应变能仍然发生了突变,即结构受力状态发生了改变,此时结构能量平衡位置改变到了新的位置.

综上所述可知,不论何种荷载作用在何种类型结构体系上,当结构处于工作状态时,应变能平稳增加,受力状态保持稳定;失效时,结构体系整体应变能均发生突变.基于结构体系的能量-地震波加速度峰值关系可以区分结构工作状态与失效状态,进而预测结构的失效荷载和失效模式.

图7　超静定集中质量结构体系Fig.7　Statically indeterminate structure system

图8　5种能量与地震波加速度峰值的关系Fig.8　Relationship between the five strain energies and peak ground acceleration

3　单层网壳结构协调工作性能

选取工程中对典型的凯威特型单层球面网壳(K8型,如图9所示[21])进行基于能量分布的结构特性分析.

K8型网壳有限元模型的构造、阻尼等信息与文献[21]相同.动力荷载包括简谐荷载和TAFT地震波,简谐荷载的频率为5 Hz,持时为12 s;TAFT地震波作用时间均为20 s,采样率50 Hz.

3.1　单层球面网壳的构造

根据结构构造特点,单层球面网壳单元可以划分为图10所示的环杆、径杆和斜杆单元3种类型.理论上,3种类型单元在地震过程中协调工作共同抵抗外荷载.但是,在不同工作状态下3种单元所表现的受力性能会有不同.

图9　K8型网壳模型示意Fig.9　Single-layer latticed dome K8

为了分析网壳结构在抵抗地震作用过程中不同单元间的协同工作及不同工作状态下的受力状态,第i环位置处的环杆单元、径杆单元和斜杆单元的响应平均值分别表示为Hi、Ri和Oi,其相应计算式为

(5)

式中:NiH、NiR、NiO分别为单层网壳第i环处环杆、径杆和斜杆的单元数目；

Hij、Rij、Oij分别为单层网壳第i环处的环杆、径杆和斜杆的第j个单元的动力响应数值.

图10　环杆、径杆和斜杆单元Fig.10　Hoop,radial,and oblique members

根据式(5),单层网壳不同环处环杆、径杆和斜杆分别与第1环或第2环处相应类型杆件动力响应的比值ρH i1、ρR j1和ρO k2可由式(6)～(8)计算得到.

(6)

(7)

(8)

式中:i、j、k网壳结构构造参数，根据网壳结构的构造取值；

网壳底部固定于基础上,第6环环杆无动力响应发生,故i仅取到第5环.

应用式(6)～(8)可以分别研究单层网壳不同环处环杆、径杆和斜杆在抵御地震过程中的作用大小及协调能力.在此基础上,可用式(10)考察3种类型杆件在地震过程中的协同性.

(9)

(10)

式中：NH、NR、NO分别为单层球面网壳环杆、径杆和斜杆的单元数目；

ρHT、ρRT、ρOT分别为环杆、径杆、斜杆指数应变能密度和与结构总指数应变能密度和的比值.

3.2　水平向简谐荷载作用下结构工作协调性分析

参照文献[21],取指数应变能密度(ESED)作为响应物理参数来分析网壳结构在抵抗地震作用过程中不同单元间的协同工作及受力状态,ESED和指数应变能密度Id的计算见式(11)、(12).

(11)

(12)

式中:n为网壳结构有限元模型的单元数目;

SEDi0为第i0个单元的应变能密度;

ESEDi0为第i0个单元的指数应变能密度.

水平向简谐荷载作用下3种类型单元的指数应变能密度比值见图11.

由图11可知:

(1) 在结构工作状态下,单层球面网壳的第4环和第5环处环杆、径杆和斜杆的动力响应最大，以径杆为例，最大值出现在第5环，约为第1环的13倍;换而言之,单层球面网壳的中下部在抵抗水平向地震动作用过程中起主要作用,如图11(a)～(c)所示.

由图11(a)～(c)可知，结构的动力响应在弹性工作状态下非常稳定,表征每种类型杆件内部间都具有较高的协调工作性能;当结构处于弹塑性工作状态时,每种类型杆件单元间的动力响应彼此间逐渐疏远且呈现不稳定变化,表明不同类型杆件内部出现了较大内力分布调整.

(2) 在图11(d)中标出了结构的两个受力状态,即工作状态和失效状态,工作状态包括弹性工作状态和弹塑性工作状态.在工作状态下,径杆单元的动力响应一直保持最低;弹性工作状态下,斜杆单元的动力响应最大;弹塑性工作状态下,环杆单元的动力响应逐渐发展成为最大值.总之,结构在工作状态下,斜杆和环杆两种类型杆件承担主要地震输入能量,径杆最少,这表明各类型杆件之间具有较好的协调性、能够稳定地承担外荷载.

由图11(d)可以看出,结构的工作状态包括弹性工作状态和弹塑性工作状态,弹塑性工作状态可以划分为瞬态阶段和相对稳定阶段.

(3) 当加速度峰值超过20.5 m/s2时,即加速度峰值超过失效荷载时,各类曲线均有较大波动,个别曲线还发生了突变现象,表明该结构已经丧失正常的、稳定的协调承载的能力.

综合上述3点,网壳结构在工作状态下各类杆件及不同部位的单元间能够较为协调稳定地共同承担外荷载;当结构失效后,这种协调稳定性被破坏,不能继续保持设定的工作状态,表现为不同类型杆件单元及不同部位单元间能量分布有较大波动、甚至突变.

为进一步研究3个工作状态和两阶段下各类型杆件间的协调性,表1中列出水平简谐荷载作用下单层球面网壳D40207不同类型杆件单元指数应变能密度的相关系数，表1中数据由式(13)计算得到.

由表1中可以看出：3种类型杆件在弹性工作状态下动力响应的相关系数最高;径杆与其它两种类型杆动力响应在弹塑性工作状态下的相关系数非常低;由瞬态过渡到相对稳定阶段过程,径杆与环杆和斜杆动力响应的相关系数分别由0.56变为-0.77及-0.64变为0.15.正负关系变化表征内力分布在结构内部进行了重新调整以便更好地承担外荷载,表明单层球面网壳内部具有良好的协调工作性能.

(13)

式中:

ρXY为变量X、Y相关系数;

Cov(X,Y)为X、Y协方差;

D(X)、D(Y)分别为X、Y方差.

3.3　三向TAFT波作用下结构工作协调性分析

图12分别为单层球面网壳D40207在TAFT地震波作用下，3种类型杆件内部及其之间的动力响应比值随加速度峰的变化关系曲线.

(a)环杆间动力响应比较(b)径杆间动力响应比较(c)斜杆间动力响应比较(d)3种类型杆件间动力响应比较图11　水平向简谐荷载作用下3种类型单元的指数应变能密度比值Fig．11　Comparisonofstrainenergyratiosamongthree⁃typemembersintheshellmodelsubjectedtohorizontalharmonicwave

表1　水平简谐荷载作用下能量相关系数Tab.1　Correlation coefficients of exponential strain energy under horizontal harmonic wave

由图12可知:

(1) 单层球面网壳在工作状态下第2环处的相应杆件动力响应最大,即结构的最大动力响应发生在结构的中上部，以径杆为例，最大值出现在第2环，约为第6环的15倍;与此同时,结构的动力响应在弹性工作状态下非常稳定,表征每种类型杆件内部间都具有较高的协调工作性能;当结构处于弹塑性工作状态时,每种类型杆件单元间的动力响应彼此间逐渐疏远且呈现不稳定变化,特别是在工作状态后期,表明不同类型杆件内部受力状态出现较大的调整,以便结构整体能够稳定地承担外荷载.

(2) 图12(d)为结构的两个工作状态和两个阶段杆件间动力响应.基于图12(d),表2中列出三向TAFT波作用下，网壳D40207在两个工作状态和两个阶段内的动力响应相关系数.

(a)环杆间动力响应比较(b)径杆间动力响应比较(c)斜杆间动力响应比较(d)3种类型杆件间动力响应比较图12　TAFT地震波用下3种类型单元的指数应变能密度比值Fig．12　Comparisonofstrainenergyratiosamongthree⁃typemembersintheshellmodelsubjectedtoTAFTwave

表2　三向TAFT波作用下能量相关系数Tab.2　Correlation coefficients of exponential strain energy under three-dimensional wave

由表2中可以看出,3种类型杆件在弹性工作状态下动力响应的相关系数非常高.由弹性工作状态到弹塑性工作状态,环杆与斜杆单元的动力响应相关系数基本保持相对稳定变化,与径杆单元的动力响应相关系数经历了较大波动后呈现稳定变化;径杆与斜杆单元的动力响应相关系数同样经历了较大波动后呈现稳定变化.这进一步表明单层球面网壳内部存在内力重分布现象及单层球面网壳内部具有良好的协调工作性能.

综上所述,单层球面网壳内部存在良好的彼此协调工作性能.在这一过程中,各部分单元间内力得到了重新分布,结构的受力状态趋向于更加合理化,表现为结构体系能够稳定地承担更大的外荷载,验证了K8型单层球面网壳构造状态的合理性.

4　结　论

本文所进行的基于能量的单集中质量体系、超静定结构体系和网壳结构承载性能分析,以及网壳结构的协调工作性能分析,结论如下:

(1) 在不同地面运动作用下,单集中质量体系和超静定结构体系的全荷载域动力响应过程中,分析总输入能量、动能、阻尼耗能和应变能随荷载幅度的变化.当结构处于工作状态时,具有协调、稳定地承担外荷载的能力;结构在进入失效状态时,结构的应变能发生突变,结构在原有能量平衡位置的受力状态发生了改变,即结构丧失了原有的稳定承载能力,进入到另一个能量平衡位置并以不同的受力状态承受荷载作用.

(2) 通过对单层球面网壳在不同形式地面运动作用下局部和整体受力状态分析表明:水平向简谐荷载作用下单层球面网壳的薄弱位置在中下部,径杆最大值出现在第5环，约为第1环的13倍；三向TAFT波作用下薄弱位置在中上部，径杆最大值出现在第2环，约为第6环的15倍.

(3) 单层球面网壳在正常工作状态下各类杆件单元及不同部位的单元间能够较为协调、稳定地共同承担外荷载;当结构失效后,这种协调稳定性被破坏,不能继续保持设定的工作状态,表现为不同类型杆件单元及不同部位单元间能量分布有较大波动,甚至突变.

致谢：西南交通大学峨眉校区高层次人才队伍建设科研支撑项目(10101X10096070).

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