巧妙转化提升解题效率

摘要：转化思想是高中数学中极为重要的一种思想方法，转化思想的精髓在于将复杂的、难以解决的问题转化为简单的、具体的问题，将问题一层一层的抽丝剥茧，通过问题的现象发现问题的本质，既能快速地解决问题，还能锻炼学生的思维能力。

关键词：转化；构造；数形结合

数学问题的解决离不开转化的思想，对于一些复杂的难题，就更离不开转化思想的铺垫。通过巧妙的转化，可以充分利用题目中的已知条件，以创新的思维方式去思考问题，从而采用创新的方法去解决问题，培养学生的发散性思维。

一、 善用韦达定理，巧求两点距离

对于解析几何中求两点之间距离的问题，直接求点的坐标往往会比较麻烦。如果能够得到相关的方程，通过韦达定理，将问题进行转化，换一种思路表示出两点之间的距离，可以达到事半功倍的效果。

例1现有抛物线y=12px2（p>0）和定点F，F的坐标为0，p2，过定点F引倾角αα≠π2的直线，直线与抛物线相交于M、N，求出M、N之间的距离。

解析：将过定点F的直线方程设为：x=0+t*cosα，y=p2+t*sinα（t为参数），将所设的直线参数方程代入抛物线方程y=12px2（p>0），可得：p2+tsinα=12p（tcosα）2，化简即为t2cos2α-t2psinα-p2=0，根据韦达定理可得：t1+t2=2p

sinαcos2α，t1t2=-p2cos2α。根据t的几何意义，|MN|=|MF|+

|FN|=|t2-t1|=（t2-t1）2=（t2+t1）2-4t2t1=2p*sec2α。

点拨：本题中通过运用韦达定理，将两点之间的距离问题进行了巧妙的转化，不但准确地得出了结果，还节省了宝贵的时间，大大提高了解题效率，是一种非常好的方法。

二、 巧妙构造，化不等式为数列

构造思想在数学问题的转化中占有重要地位，对于一些难以解决的问题，采用构造思想，可以将原本复杂的问题进行转化。例如对含有n的不等式证明问题，采用构造数列的方法，可以巧妙地化复杂为简单，从而将不等式问题转化为数列问题，更有利于解决问题。

例2证明不等式1n+1+1n+2+…13n+1>1（n∈N*）。

解析：构造数列：an=1n+1+1n+2+…+13n+1，那么an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=13n+4+13n+2-23n+3=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0，所以數列{an}是递增数列，又a1=12+13+14=1312>1，所以an>1（n∈N*），所以原不等式得证。

点拨：本题中采用构造数列的方法巧妙地解决了不等式证明问题，通过新构造出的数列，巧妙地判断出该数列是递增数列，从而证明不等式。通过构造数列可以事半功倍的解决问题，提高解题效率。

三、 数形结合，突破实根问题

对于方程的实根个数问题，并不需要求出具体的实根，如果能够结合函数的图像，将原本纯粹的函数问题进行转化，巧妙地运用函数的图像与实根个数之间的关系，运用数形结合的思想，采用创新的方法来解决问题。

例3已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，那么对于方程|f（x）+g（x）|=1的实根个数为。

解析：设h（x）=f（x）+g（x）=-lnx，0

-x2+2+lnx，1

x2-6+lnx，x>2，将问题进行转化，方程|f（x）+g（x）|=1的实根个数即为函数h（x）与函数y=1与函数y=-1的交点，利用相关的导数知识可以画出h（x）的图像，通过所作的图像，可以直观地看出h（x）与y=1和y=-1共有4个交点，所以方程|f（x）+g（x）|=1的实根个数为4个。

点拨：本题的难点在于转化思想的运用，要想到将函数问题与其图像相结合。接着严格按照函数的定义域，按部就班地画出每一段的图像，得出具体图像之后，原本复杂的问题自然就迎刃而解了。

综上所述，转化思想存在于高中数学中的方方面面，无论是平面解析几何问题、不等式问题或是函数问题，它们的解决都离不开转化思想，转化思想是高中数学知识之间相互联系的纽带，通过转化思想可以将这些知识紧密地联系起来，从而事半功倍的解决问题。

作者简介：夏仁权，云南省曲靖市，云南省富源县胜境中学。